如何将数学史与数学教学有机结合起来——以教授直线的倾斜角概念为例

彭丽曼（华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631）

如何将数学史与数学教学有机结合起来
——以教授直线的倾斜角概念为例

彭丽曼（华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631）

近年来，越来越多的数学工作者重视数学史在数学教学中的作用，但是受到学生知识水平的限制及教学进度的要求，盲目介绍数学问题出现的现实情境、揭示数学概念的来龙去脉，不仅可能超出学生的现实基础，而且也无利于教学效果的提高。本文通过对直线的倾斜角概念的教学设计的分析，初步探讨数学史与数学教学有机结合的方法。

数学史；数学概念；建构主义

【DOI】10．19312/j．cnki．61-1499/c．2016．07．071

近年来，中小学课程改革中越来越强调“改变课程内容‘繁、难、偏、旧’和偏重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能”。这更是需要教师把数学工具发展所面临的现实问题、数学的发展过程，总而言之，把数学史与数学知识的学习融合在一起，使学生能了解数学问题的现实性，数学既来源于生活又反作用于生活。课程改革对引导学生学会学习方面，提出了具体的要求：“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”其中，向学生展现数学史上数学家面对时代的数学问题时解决问题的思路有利于学生了解掌握对具体问题分析解决的能力，这种数学家们独创的解决问题的思路、方法对学生思考其他生活上的问题意义非凡。

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。所以，学好数学史，不仅能对数学知识有更深层次的了解，而且有利于自己树立正确的数学观念。

但是，受到学生知识水平以及教学要求的限制，教师不能对教学内容所涉及到的数学思想、数学概念发展过程做详尽的描述，那么，一节以数学史为背景的课在数学史内容的选取与数学史与数学教学的结合设计上将是衡量教学设计得合不合理的关键因素。本文以《直线的倾斜角与斜率》一课为例，初步探讨如何将数学史与中学数学教学内容有机结合。

一、直线的倾斜角教学设计

1.直线的倾斜角的概念引入

（1）教师引导。在上一章中，我们依据点、直线、平面的位置关系来研究几何图形的性质，这种方法优点在于几何图形可以给我们的思维以直观的引导，但是在欧式几何中，一个新的证明往往要求某种新的、奇巧的想法会给我们带来不便。而回想我们以前所学习的加减乘除的计算和代数方程的求解等问题都有一套机械化、程序化的解决方法，那么，我们能不能把数、代数引进几何学中，或者说把几何问题转化为代数问题，从而运用代数的方法解决几何问题？17世纪时，法国著名的数学家笛卡尔就很深刻地意识到把代数引进几何学的必要。要解决这个问题关键在于怎么用数来表示图形的几个要素，即如何用数表示点、直线、平面。

笛卡尔在观察墙角的一个蜘蛛的运动中想到了建立“直角坐标系”的方法，空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有序的三个数与之对应。在初中我们学习过，在平面直角坐标系上可以用一组二元数（x，y）表示平面上的一个点，这就解决了用数表示平面上的点的问题，那么，直线又怎样用几个数来确定呢？

（2）设计分析。概念的引入既承接了上一章中传统几何学的内容，又把学生的思想置于17世纪数学家所面临的问题情境，让学生体会当时几何学发展所遇到的问题。介绍笛卡尔的直角坐标系方法，引出这一章所涉及的主要思想——通过直角坐标系用数来表示几何要素。同时，通过类比平面中的点用坐标来表示，引出平面上的线如何用数表示的问题。从建构主义学习观看，“数学学习不是被动接受的过程，而是主动建构的过程”，通过介绍数学史完整地呈现数学家解决问题的思想方法，激起学生的好奇心及求知欲，为后续直线倾斜角概念的建构埋下伏笔。

同时，笔者了解到解析几何的产生有一系列的实际问题的驱使，比如：哥白尼的“日心说”、伽利略的惯性定律与自由落体定律、开普勒提出的行星运动三大定律的提出都迫使产生新的几何学，以便用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他曲线。诚然，引入这些数学史料能够让学生领会数学来源于生活，数学问题具有现实性。但是，由于学生知识水平的限制，尚不能真正理解解析几何对解决这些问题的作用，从而不能使数学史跟教学内容有机结合的目的。

2.直线的倾斜角的概念教学

通过图形展示逐步引出过一定点的直线之间倾斜程度、方向不同。

（1）教师引导。既然点P可以用坐标这一组二元数来表示，如果直线的方向也可以用某种数来表示，直线就可以用这两个数来表示。那我们就来探究一下如何用数表征直线的方向。我们联想一下地图中的方向怎么表示。如果地图上由一条笔直的路，问这条路是往哪个方向延展的，关键要知道什么量？角度，比如说直线向上方向跟东方向夹角为45度，那么我们就知道这条路是往东北方向延展的，如果是30度角，我们就能确定这条路是来往于北偏东30度的方向。知道一个角度就可以确定道路的方向，这给了我们很大的一个启示，也来给我们的直线安个角度！

教师组织学生自由讨论：应该选取哪个角度较好，并且倡导学生各抒己见。

（2）设计分析。紧扣以直角坐标系为中介，用数描述几何要素——直线的思想，找到过一定点的直线的本质特征——方向，并且把问题转化成用可数量化的要素描述直线的方向，并通过类比地图上方向的描述来寻求解决问题的思路，最后把焦点聚在直线跟坐标轴的夹角上，从而问题迎刃而解。在教学环境中再现概念产生的背景和动机，层层递进，既发挥了教师的课堂主导作用，又调动了学生思考的积极性，使学生成为学习的主人。教师没有由此引出直线向上方向与x轴正方向的夹角，而是用自由探讨的方式让学生各抒己见，使教师成为概念建构的帮助者和促进者，使学生成为信息加工的主体和概念建构的主动者。这也正是建构主义所提倡的“在教师的帮助下以学习者为中心，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的主导作用”在课堂上的实际应用。

二、数学史与教学有机结合的方法

1.再现数学问题的“现实情境”

数学教材往往根据一定的学习要求按照一定的逻辑结构对数学知识加以取舍编纂成一定的知识体系，这样就必然忽略数学概念数学思想发生的实际背景。而对于中学数学来说，数学知识、数学概念的发展绝大多数来源于现实生活问题的解决，因而在数学概念引入时，教师若能再现当时数学家所面临的问题情境，引导学生进入发现者的角色，将会激发学生的探索欲望，为概念教学创造自由思考的氛围。

再现数学问题的现实情境不等同于把数学史上数学家当时所面临的要解决的数学问题一股脑儿全部罗列出来。受制于学生的知识水平，学生很可能理解不了真实的数学问题情境与数学概念之间的关系，好比上文分析的时代需要当时的数学家用运动的观点来认识处理圆锥曲线和其他曲线，这跟要把代数引进几何学有什么关系呢？盲目列举数学史上的知识不仅不能帮助学生很好地把握数学发展的方向，反而让学生“知其然，不知其所以然”，加重学生负担。所以，教师在选择数学史料时要反复考察学生的知识水平，并根据学生的知识水平来选取数学史料。最好选取跟数学概念数学方法有最直接关系的史料。

2.还原数学概念的发现过程

学习数学不仅是为了获得数学知识数学成果，更重要的是学习数学思维与数学方法。数学史中记载了许多数学工具、数学概念的发现过程，同时也记载了数学家创造性的解题思维过程。还原数学概念的发现过程要求教师熟练掌握与数学发现相关的史料，从而在课堂上合理设置相关的问题，并且在适当时候给予提示，通过教师的一步一步的引导逐步还原数学家当时的思考过程。这不仅能营造自由讨论的课堂氛围，还可以让学生体会主动发现数学的乐趣，激发学生的探索欲和求知欲。

[1]王红兵,薛艳兰．数学史在中学数学教学中的应用[J]．时代教育,2012．

[2]黄宏波．论数学史在数学教学中的重要作用[J]．教育与职业,2007．

[3]段璐灵．从建构主义看数学课堂引入[J]．四川工程职业技术学院学报,2007．