圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质研究



圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质研究

广东省广州市番禺区实验中学(511400)潘神龙

我们知道，对圆锥曲线上的定点张直角的弦恒过一定点，这一结论已散见于各种数学刊物，如[1],[2].2011年湖南、2014年山东高考试卷中的解析几何题目分别涉及了对抛物线、椭圆上的一点张直角的弦的问题，这启发我们继续对这类问题进行研究.特别地，本文重点研究“定点”的几何性质.

一、椭圆

证明：设lP0M0：y=kx+(y0-kx0)，联立后得(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2[(y0-kx0)2-b2]=0，有

因为M0P0⊥N0P0，所以

推论1过点P1的弦(P0处法线除外)对点P0张直角.

推论2点P1在P0处的法线上，即任何对点P0张直角的弦都与P0处法线相交于同一点P1.

推论3弦M0P0与P0处切线的夹角等于∠N0P0P1，如图1.

推论4若弦G1G2，H1H2都过点P1，则锐角∠G1P0H1=∠G2P0H2，且SΔG1P0H1∶SΔG2P0H2=tan∠G2tan∠H2，如图2.

图1 图2 图3

当n≥2时，上述结果均有类似推广，并有下面的推论5.

(2)∠PkPk+1Pk+2(k∈)为P0P1与y轴夹角的2倍；

(3)ΔOP0P1～ΔOP2kP2k+1，ΔOP0P1～

ΔOP2k+1P2k+2，k∈.

推论6椭圆Cn与C0离心率相同、特征三角形相似，Cn可看作由C0经伸缩变换而成.

二、双曲线

推论1过点P1的直线(P0处法线除外)与C0相交的弦对P0张直角.

推论2点P1在P0处的法线上.

推论3弦M0P0与P0处切线的夹角等于∠N0P0P1.

推论4若弦G1G2，H1H2所在直线都过点P1，则锐角∠G1P0H1=∠G2P0H2，且SΔG1P0H1:SΔG2P0H2=tan∠G2tan∠H2.

长期来看，现有参与者对于区块链技术的适应和整合程度，是区块链能否成为平台、会成为多大平台的决定性因素。

图4 图5

当n≥2时，上述结果均有类似推广，并有下面的推论5.

(2)当a>b时，∠PkPk+1Pk+2(k∈)为P0P1与y轴夹角的2倍；当a

(3)ΔOP0P1～ΔOP2kP2k+1，ΔOP0P1～

ΔOP2k+1P2k+2，k∈.

推论6双曲线Cn与C0离心率、渐近线相同、特征三角形相似，Cn可看作由C0经伸缩变换而成.

三、抛物线

定理3对抛物线C0:y2=2px(p>0)上定点P0(x0,y0)张直角的弦M0N0上有一定点P1(x0+2p,-y0)；当点P0变动时，点P1所在轨迹为抛物线C1:y2=2p(x-2p)(p>0).类似的，对抛物线Cn-1上定点Pn-1张直角的弦Mn-1Nn-1上有一定点Pn(x0+2np,(-1)ny0)；当点Pn-1变动时，点Pn所在轨迹为抛物线Cn:y2=2p(x-2np)(p>0)，n∈+.

推论1过点P1的弦(P0处法线除外)对P0张直角.

推论2点P1在P0处的法线上.

推论3弦M0P0与P0处切线的夹角等于∠N0P0P1.

图6

推论4若弦G1G2，H1H2都过点P1，则锐角∠G1P0H1=∠G2P0H2，且SΔG1P0H1:SΔG2P0H2=tan∠G2tan∠H2.

当n≥2时，上述结果均有类似推广，并有下面的推论5.

推论5当P0不是抛物线的顶点时，点Pn是抛物线Cn-1在点Pn-1处的法线与直线y=(-1)ny0的交点，{Pn}发散，满足：

(1)kPnPn+1=(-1)nkP0P1，|PnPn+1|=|P0P1|；

(2)∠PkPk+1Pk+2(k∈)为P0P1与y轴夹角的2倍.

推论6抛物线Cn可看作由C0向右平移2np个单位而成.

上述三个定理可统一叙述为：

参考文献

[1]张忠旺.圆锥曲线对定点张直角弦的包络问题研究[J].数学通报，2013，8.

[2]张定胜.“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探[J].数学通讯，2007,7:7.