广义积分比较审敛法的推广

谢陈龙，　赵向青，　刘爱民

(1.浙江海洋学院数学系，浙江舟山316022；　2.玉林师范学院教育技术中心，广西玉林537000)



广义积分比较审敛法的推广

谢陈龙1，赵向青2，刘爱民2

(1.浙江海洋学院数学系，浙江舟山316022；2.玉林师范学院教育技术中心，广西玉林537000)

[摘要]比较原则是广义积分(无穷级数)收敛性的最基本的判别法则，不光自身简单实用，而且由此导出了许多重要的判定方法.本文将比较原则中的条件放宽为上、下极限，从而在一定程度上推广了比较原则，扩大了它的应用范围.为了说明推广的比较审敛法则的有效性，本文最后给出了几个例子.

[关键词]广义积分； 上、下极限； 比较原则； 推广

1引言

广义积分(无穷级数)是数学分析[1]，高等数学[2]中的重要内容，而且难度较大，因此在许多数学书，如吉米多维奇习题集[3]，数学分析中的典型问题与方法[4]，研究生入学考试辅导书[5]中都是重头戏.广义积分(无穷级数)的基本问题是收敛性问题.比较原则是广义积分的收敛判别法中最基础且最重要的一个判定法则，许多重要的判定法则是在比较原则基础上推导出来的.比较原则的极限形式在判定具体函数(数列)的广义积分(无穷级数)的收敛性时极为方便，因此备受青睐：

定理1.1[1-2]设f是定义于[a,+∞)上的非负函数，在任何有限区间[a,u]上可积，且

(1)

然而，并非每个函数都存在形如(1)的极限，我们不禁要问：如果将(1)中的极限换成上、下极限，定理还成立吗？由于函数上、下极限总是存在的(包括±∞)，如果我们的猜想能够证实，比较原则的应用范围便得以实质性扩充.

本文证明了上述猜想，并从无穷限积分与瑕积分，无穷限积分与数项级数的关系出发，推广了瑕积分和数项级数的比较原则.最后，给出了3个具体的例子，不难从中发现我们推广的比较原则的方便和高效性.

2比较原则的推广

首先回顾一下比较原则：

引理2.1[1]设定义在[a,+∞)上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在N≥a使得

f(x)≤g(x)，∀x∈[a.+∞),

(2)

由比较原则可以证明：

(3)

则有

证只需证明(i).因为(ii)的证明与(i)类似.

情形1.0<λ<+∞.

由引理2.1可知，结论成立.

情形2.λ=+∞.对于M=1，存在N>a，使得当x>N时，有

由引理2.1可知，结论成立.

综上，可知当0<λ≤+∞时，结论成立.

定理2.2f是定义于[a,+∞)上的非负函数，在任何有限区间[a,u]上可积，且

注2.1瑕积分的比较原则可以相应地推广，只需将定理2.2中结论(i)和(ii)对p的假设分别改为0

注2.2无穷级数的比较原则也可以相应推广，条件与无穷限积分类似.

3应用

解因为

(4)

解因为

(5)

解因为

(6)

注3.1显然(4),(5),(6)中的函数极限不存在，上述各例不能用定理1.1来求解，但是利用定理2.2可以很方便地解决，说明本文的推广是有效的.

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].4版.北京：高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学 [M].北京：高等教育出版社, 2004.

[3]吉米多维奇.数学分析习题集题解(中译本) [J]. 济南：山东科学技术出版社, 1979.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社, 2006.

[5]陈文灯,黄先开.数学复习指南(2002版研究生入学考试数学辅导系列-理工类)[M].北京: 北京理工大学出版社, 2011.

Generalized Compare Method for Improper Integration

XIEChen-long1，ZHAOXiang-qing2，LIUAi-min2

(1.Department of Mathematics, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316022,China;

2.Educational Technology Center, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000, China)

Abstract:Compare principle is the basic method for improper integration (infinite series), not only because it is convenient to use but also because it is the base for proof of other methods. By relaxing limits with up-lower limits in assumption condition，Compare principle is generalized. We give some examples in the last section from which the advantage of the generalized compare principle is shown.

Key words:improper integration; up-lower limits; compare principle; generalization

[基金项目]国家自然科学基金(11161051)；广西省教育厅科研项目(YB2014316)

[收稿日期]2014-04-08

[中图分类号]O172.2

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)01-0053-03