怎样用代换法求递推数列通项公式

江美红

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0169-02

在求递推数列通项公式的多种方法中，代换法占有十分重要的地位，应用它可使一些繁难的题目变得简单易解。

1.线性代换法

例1：已知数列{an}满足a1=1，an+1=1+12an求其通项公式.

解：因为an+1=1+12an，所以an+1+p=1+12an+p=12（an+2p+2）

令p=2p+2，则p=-2，于是an+1-2=12（an-2）

又令bn+1=an+1-2，则bn+1=12bn，故数列{bn}是首项为b1=-1，公比为12的等比数列.从而an-2=bn=（-1）（12）n-1，于是an=2-12n-1即为所求。

一般地，对于以a1=m，an+1=pan+q（pq≠0，p≠1）型递推式给出的数列，均可用线性代换的方法求出an的表达式。

例2：已知数列{an}满足a1=1，a2=5，且an+2=-2an+1+3an，求an的表达式。

解：递推式两边同时加上pan+1，并整理，得

an+2+pan+1=（p-2）（an+1+3p-2an）……………………①

令p=3p-2，得p2-2p-3=0，即（p-3）（p+1）=0，解得p=-1或p=3

取p=-1代入①得an+2-an+1=-3（an+1-an）

令bn+1=an+2-an+1，则bn+1=-3bn，b1=a2-a1=4。于是{bn}是首项为4，公比为-3的等比数列，故bn=an+1-an=4（-3）n-1。

n别取1，2，…，n-1，得n个式子，然后累加可得an=2-（-3）n-1，即为已知数列的通项公式。

例2中数列{an}的递推式的一般形式为

an+1=pan+qan-1………（*）

当p+q=1时，有an+1-an=-q（an-an-1）.于是{an+1-an}是以a2-a1为首项，-q为公比的等比数列，然后按例2所用方法即可求得an的表达式。

当p+q≠1时，存在α，β满足an+1-αan=β（an-αan-1），与an+1=pan+qan-1比较系数得α+β=p，αβ=-q。可见α，β是二次方程t2-pt-q=0的两根（称此方程为递推式（*）的特征方程），通过解此方程求 的值，再进一步推导 的表达式。

2.倒数代换法

例3：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an3an+4，求an的表达式。

解：由已知递推式得

1an+1=3an+4an=4an+3

令bn=1an，则上式变为bn+1=4bn+3，其中b1=1，仿例1可得bn=2.4n-1=1

于是an+1=panqan+r（pqr≠0）为递推式的数列，一般可用倒数代换法求出其通项公式。

3.对数代换法

例4：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an3，求此数列的通项公式。

解：由已知易见，数列{an}的所有项都是正数，于是将an+1=2an3两边取对数得log2an+1=3log2an+1

令bn=log2an，则bn+1=3bn+1，其中b1=log2a1=12.仿例1可得bn=3n-1-12。

故an=23n-1即为所求。

一般地，用对数代换法可解决求以an+1=panq（q≠0，p>0）为递推式的正数数列的通项公式问题。

4.三角代换法

例5：已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an1-an2，求数列{an}的通项公式。

解：令a1=tanθ（θ=arctan3），则a2=2a11-a12=tan2θ.显而易见an=tan（2n-1arctan3）即为所求。

注：可用三角代换法求通项公式的数列，其递推式必须具有与三角公式形似质同的特点。

综上所述，用代换法可以解决许多递推数列的通项公式问题.为了学好用好代换法，大家还需要认清代换的方向及依据.代换的方向是使已知复杂数列变为等差、等比或其他一些易于推演的数列；代换的依据是将数列{an}视为定义在正整数N+或其子集上的函数，若令an=f（n），则an+1=f（n+1），灵活机动地应用代换法，如例2中，若取p=3，则①变为an+2+3an+1=an+1+3an，令bn+1=an+2+3an+1，则bn=an+1+3an，有bn+1=bn，又b1=a2+3a1=8，于是bn+1=bn=b1=8.即an+1+3an=8，将此式整理为an+1（-3）n+1=an（-3）n+8（-3）n+1

令cn+1=an+1（-3）n+1，则上式变为cn+1=cn+8（-3）n+1.取n分别为1，2，∧，n-1后，累加得cn=-13+23（1-1（-3）n+1）

于是an=（-3）n-1+23[（-3）n+3]=2-（-3）n-1

与取p=-1时所得结论相同。