不用求导含参数的三阶收敛迭代方法

不用求导含参数的三阶收敛迭代方法

裕静静，江平

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

[摘要]基于弦截法和Steffensen迭代法，本文提出了求解非线性方程f(x)=0的两种带有参数的迭代算法，这两种算法不带有导数，且经过收敛性分析证明至少是三阶收敛的，最后用数值试验验证了本文两种迭代算法的有效性和优越性.

[关键词]牛顿迭代； 弦截法； Steffensen迭代法； 非线性方程

[收稿日期]2014-10-12

[基金项目]中央高校基本科研业务费专项(J2014HGXJ0077)

[中图分类号]O241.7[文献标识码]A

1引言

科学发展中经常用到非线性方程，我们知道牛顿迭代法(CN)[1]是求解非线性方程f(x)=0的经典算法.近年来，科学家们提出了很多种对牛顿迭代法进行改进的算法，如文献[2-4]，但是这些算法需要调用导数值.对于复杂函数而言，求导比较困难，无疑增加了计算量，于是科学家们又研究了不用求导的改进算法，例如对弦截法的改进还有不动点的改进.由杨明波等人在文献[5]中提出的求解非线性方程的二重弦截法，它的收敛阶为2.618.还有吴新元[6]提出的两族新的牛顿类方法.文献[7]和[8]中，郑权在文献[6]的基础上，提出了具有参数的不带导数的平方收敛的欧拉型迭代法，它的收敛阶是二阶的.文献[9]中Mehdi Dehghan和Masoud Hajarian所提出的几种不用求导的平方收敛和三阶收敛的迭代法.本文基于文献[6]和[9]提出了两种含有参数的收敛迭代算法，这两种新算法不需要求导数，且收敛性分析证明它们至少三阶收敛，也通过数值试验证明了它们的有效性.

2不用求导含有参数的迭代格式

本文所提出的两种算法，它们的迭代格式为

(1)

以及

(2)

其中μ∈R，下面给出新迭代格式的推导过程.

首先给出一个动力系统

(3)

其中U(x*)为x*的邻域，可见方程f(x)=0的根x*是动力系统(3)平衡点，反之也是一样的.利用不同的数值方法求解(3)可以得到不同的求根方法，现在用Euler方法对其进行积分可得到

(4)

因为求导带来不便，可以用差商

代替(4)中的导数f′(xn)，可得到

(5)

令(5)中h=1，则(5)变为

(6)

迭代格式(6)正是[4]中郑权提出的带参的不带导数的平方收敛的迭代算法格式.根据上述的迭代格式，我们可以继续改进，与弦截法的迭代格式

结合，得到一个新的迭代格式

(1)

其中μ∈R.

类似地，如果采用差商

代替(4)中的导数f′(xn)，那么根据迭代格式(1)的推导过程，可以得到另一种不用求导含参数的迭代格式，如下所示

(2)

(1)和(2)就是本文所要讨论的两种不用求导含参数的三阶收敛迭代格式，下面对它们进行收敛性分析.

3收敛性分析

(7)

如果所选取的参数

证设xn在x*的去心邻域内，令en=xn-x*，由带Peano余项的Taylor公式得

(8)

(9)

由(8)以及泰勒公式展开可得

(10)

由(9)，(10)可得

μf2(xn)+f(xn+f(xn))-f(xn)

(11)

因此利用辗转相除法，由(9)和(11)可得

(12)

由(12)可知

所以可以得到f(yn)在x*处的泰勒展开式为

所以可得

(13)

以及

(14)

由(13)和(14)利用辗转相除法可得

由此可得

(15)

根据误差方程的定义以及(15)可知

(16)

(17)

定理2的证明过程参照定理1即可得出结论.

4数值试验

(i)f1(x)=cosx+e-x,x*=1.74613953040801;

(ii)f2(x)=cosx-x,x*=0.73908513321516;

(iii)f3(x)=2sinx-1,x*=0.52359877559830;

(iv)f4(x)=x3-1,x*=1.00000000000000.

测试结果如表1所示：

表1　迭代次数的比较表

5结束语

通过表1中的迭代次数可知，本文的两种迭代算法不管μ取何值，都比经典牛顿法和Steffensen加速法的收敛效果要好，而且当取得的μ值使得敛速估计r*=0时，收敛效果更好.本文所给出的两种迭代算法不需要求导数值，而且可以调节参数μ使得收敛速度改变.通过比较可知，第二种迭代算法的效果比第一种略好.通过计算效率指数可知，格式(1)的效率指数是1.4422，格式(2)的效率指数是1.316，而牛顿迭代法和弦截法的效率指数是1.414，更加验证了本文迭代算法的有效性.

[参考文献]

[1]朱晓临. 数值分析[M].合肥:中国科学技术大学出版社，2010.

[2]Ozban A Y. Some new variants of Newton’s method[J]. Appl Math Lett， 2004， 17:667-682.

[3]Weerakoon S， Fernando T G L. A variant of Newton’s method with accelerated third-order convergence [J]. Appl Math Lett， 2000， 13:87-93.

[4]Changbum Chun. Construction of third-order modifications of Newton’s method[J]. Appl Math and Comp， 2007， 189:662-668.

[5]杨明波. 求解非线性方程的二重弦截法[J]. 河南师范大学学报，2010， 38(3): 14-16.

[6]吴新元. 对牛顿迭代法的一个重要修改[J]. 应用数学与力学，1999， 20(8): 863-866.

[7]郑权. 具有参数的不带导数的平方收敛的迭代法[J]. 计算数学，2003， 25(1):107-112.

[8]郑权. 斯蒂芬森-牛顿类迭代法的二阶收敛性[J]. 吉林大学学报，2003，41(2): 134-139.

[9]Mehdi Dehghan， Masoud Hajarian. Some derivative free quadratic and cubic convergence iterative formulas for solving nonlinear equations[J].Appl Math and Comp， 2010， 29:19-30.

Third-order Convergent Iterative Method with

Parameter without Derivation

YUJing-jing，JIANGPing

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:According to the secant method and Steffensen iterative method， this paper puts forward two iterative methods with parameters for solving the approximate solution of nonlinear equations f(x)=0.The two algorithms are without derivative， and we know that the two methods are at least convergent to order three through the convergence analysis and proof. Their effectiveness is validated with numerical test.

Key words: Newton’s iterative method; secant method; Steffensen iterative method; nonlinear equation