□深圳市宝安区西乡街道共乐小学 温展钜
窥一木而见森林
——以“平面图形的面积”复习例谈思维导图的运用
□深圳市宝安区西乡街道共乐小学 温展钜
复习课承载着回顾与整理、沟通与生长的独特功能。“一问一答+巩固练习”的炒冷饭模式,虽能“温故”却很难“知新”。怎样才能让学生在复习课中既“温故”又“知新”呢?下面我以“平面图形的面积”为例,与大家分享利用思维导图引导学生进行自主探索的一些尝试。
课前我先让学生按要求画出平面图形面积相关知识的思维导图。(要求:请你尝试整理已学过的平面图形面积的相关知识,你能从中发现它们之间的联系吗?把你的发现用思维导图的形式呈现出来吧!)
【课堂实录】
师:我们这节课一起复习平面图形的面积,首先我们来回顾一下什么是图形的面积?怎样计算图形的面积?
生1:物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积。
生2:S长方形=长×宽。
生3:S正方形=边长×边长。
……
生7:S圆=πr2。
师:还有补充吗?
生8:如果知道圆的直径或周长,也可以先求出圆的半径,再求出圆的面积。
师:关键要知道圆的半径。
让学生迅速回顾平面图形的面积公式及相关概念,不仅照顾到了全体学生,还为后续的讨论奠定了基础。但这种简单的识记性知识的回顾并不是本节课的重点,沟通与发展才是复习课的主旨。
师:我们刚刚回顾了平面图形的面积计算公式,请根据你绘制的思维导图在小组内进行讨论——平面图形的面积之间有什么联系?
学生小组讨论(10分钟)。
每个学生心中对平面图形的面积都有自己的理解方式,通过充分的交流、碰撞,甚至辩驳,学生的思维可以越辩越明,知识框架越发清晰。
师:接下来请准备好的小组上台与大家分享你的发现。
小组1:(1)S长方形=长×宽,把平行四边形剪拼成一个长方形;剪拼后,平行四边形的底相当于长方形的长,高相当于长方形的宽,推出:S平行四边形=底×高。(2)正方形是特殊的长方形,它的长和宽相等,所以S正方形=边长×边长。(3)将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形,此时,三角形的面积等于拼成后的平行四边形面积的一半,所以S三角形=底×高÷2。(4)两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形的底等于梯形的(上底+下底),平行四边形的高等于梯形的高,我们可以推出S梯形=(上底+下底)×高÷2。(5)把圆沿着半径平均分成若干份,可以拼成一个近似的长方形,长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径,可以推导出S圆=πr2。
从长方形的面积推导出平行四边形的面积公式,再推导出其他图形面积公式,这条路径与我们在新课学习时是相同的。所以,这个推导过程也是绝大多数学生都能掌握的,也是这节课中学生要达到的基本要求。
在“平面图形的面积”复习中,平面图形的面积公式本身对于学生来说都属于旧知。那么各图形之间的转化、推导方向就不一定是那么单一了,每一个图形都可能成为思维的起点。
师:刚才这一组同学以长方形的面积公式为起点,推导出其他图形的面积。不仅与我们分享了各图形的面积之间的联系,还理清了图形内部各知识点的联系。掌声送给他们!还有不一样的发现吗?
小组2:我们是从平行四边形开始的,S平行四边形=ah。长方形和正方形都是特殊的平行四边形,长方形的长相当于平行四边形的底,长方形的宽相当于平行四边形的高,所以S长方形=ab。同样的道理,S正方形=a·a。
小组3:我们组觉得平行四边形、长方形、正方形都可以当作是上底和下底相等的梯形,三角形就是上底为0的梯形。根据S梯形=(a+a)×h÷2,可以推出:S平行四边形=(a+a)× h÷2=ah;S长方形=(a+a)×b÷2=ab;S正方形=(a+a)×a÷2=a2;S三角形=(0+a)×h÷2=ah÷2。
师:这一组同学竟然用假设的眼光把平行四边形、长方形、正方形、三角形都当成“从梯形”,从而根据梯形推导出面积公式。
利用图形之间的包含关系,把长方形和正方形的面积公式归结为平行四边形的面积公式,第三小组更把这种思维推向极致,把长方形、三角形等都纳入到梯形的范围。既沟通了它们之间的联系,又节约了“记忆的成本”。
小组4:我们小组发现了三角形与圆之间的联系。我们可以把圆沿半径平均切成若干份,每份切得越小,就越接近三角形,把这些三角形摆在一起,就成了许多等高的三角形。三角形的底的和就相当于圆的周长,三角形的高就相当于圆的半径,圆的面积等于三角形的面积之和:2πr·r÷2=πr2。
师:你的发现真了不起!如果沿半径分成很多份,但不平均分,还能得到这样的结果吗?大家可以在课后再研究一下,相信会有更精彩的发现。
在学生对圆面积的推导过程中,“把圆平均分成若干份,可以拼成一个平行四边形,分的份数越多,所拼成的图形就越接近平行四边形”。学生正是受到它的启发,也尝试着用极限的思想进行大胆尝试。虽然只有少数学生能做到,但这也足以让老师和同学们为之赞叹与兴奋。
师:通过刚才的分享,大家有哪些收获?
生1:我们发现每个图形的面积之间都相互联系。
生2:假如我们忘记了某一平面图形的面积公式,我们可以根据其他图形的面积公式进行推导。
师:是啊,同学们通过思考,发现从一个图形推出其他图形的面积公式,这其中都蕴含着一种很重要的数学思想——转化。在图形转化的过程中,抓住了“变”与“不变”两个关键。你发现了吗?
生3:图形的形状变了,而面积不变。
师:抓住面积不变的本质,我们可以把陌生图形转化成我们熟悉的图形,从而推导出新图形的面积计算公式。立体图形的体积之间又有怎样的联系呢?请同学们在课后试着也像今天这样整理出它们之间的联系,再与大家进行分享。
复习课,并不一定都要出现很多练习题,甚至搞题海战术。虽然在这40分钟内,我们连预设的综合练习都没来得及完成,但在这节课中,学生之间的交流与碰撞、领略与感悟却频频闪耀出美丽、璀璨的思维之花。在复习课中,学生能通过深入一个图形而发散至整个网络,窥一木而见森林,这又有什么可遗憾的呢?