窥一木而见森林——以“平面图形的面积”复习例谈思维导图的运用

□深圳市宝安区西乡街道共乐小学 温展钜

窥一木而见森林
——以“平面图形的面积”复习例谈思维导图的运用

□深圳市宝安区西乡街道共乐小学 温展钜

复习课承载着回顾与整理、沟通与生长的独特功能。“一问一答+巩固练习”的炒冷饭模式，虽能“温故”却很难“知新”。怎样才能让学生在复习课中既“温故”又“知新”呢？下面我以“平面图形的面积”为例，与大家分享利用思维导图引导学生进行自主探索的一些尝试。

课前我先让学生按要求画出平面图形面积相关知识的思维导图。（要求：请你尝试整理已学过的平面图形面积的相关知识，你能从中发现它们之间的联系吗？把你的发现用思维导图的形式呈现出来吧！）

一、迅速再现，做好重建准备

【课堂实录】

师：我们这节课一起复习平面图形的面积，首先我们来回顾一下什么是图形的面积？怎样计算图形的面积？

生1：物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积。

生2：S长方形＝长×宽。

生3：S正方形＝边长×边长。

……

生7：S圆＝πr2。

师：还有补充吗？

生8：如果知道圆的直径或周长，也可以先求出圆的半径，再求出圆的面积。

师：关键要知道圆的半径。

让学生迅速回顾平面图形的面积公式及相关概念，不仅照顾到了全体学生，还为后续的讨论奠定了基础。但这种简单的识记性知识的回顾并不是本节课的重点，沟通与发展才是复习课的主旨。

二、充分商议，搭建基础框架

师：我们刚刚回顾了平面图形的面积计算公式，请根据你绘制的思维导图在小组内进行讨论——平面图形的面积之间有什么联系？

学生小组讨论（10分钟）。

每个学生心中对平面图形的面积都有自己的理解方式，通过充分的交流、碰撞，甚至辩驳，学生的思维可以越辩越明，知识框架越发清晰。

师：接下来请准备好的小组上台与大家分享你的发现。

小组1：（1）S长方形＝长×宽，把平行四边形剪拼成一个长方形；剪拼后，平行四边形的底相当于长方形的长，高相当于长方形的宽，推出：S平行四边形＝底×高。（2）正方形是特殊的长方形，它的长和宽相等，所以S正方形＝边长×边长。（3）将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，此时，三角形的面积等于拼成后的平行四边形面积的一半，所以S三角形＝底×高÷2。（4）两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的（上底+下底），平行四边形的高等于梯形的高，我们可以推出S梯形＝（上底+下底）×高÷2。（5）把圆沿着半径平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，可以推导出S圆＝πr2。

从长方形的面积推导出平行四边形的面积公式，再推导出其他图形面积公式，这条路径与我们在新课学习时是相同的。所以，这个推导过程也是绝大多数学生都能掌握的，也是这节课中学生要达到的基本要求。

三、张扬个性，突显不同风格

在“平面图形的面积”复习中，平面图形的面积公式本身对于学生来说都属于旧知。那么各图形之间的转化、推导方向就不一定是那么单一了，每一个图形都可能成为思维的起点。

师：刚才这一组同学以长方形的面积公式为起点，推导出其他图形的面积。不仅与我们分享了各图形的面积之间的联系，还理清了图形内部各知识点的联系。掌声送给他们！还有不一样的发现吗？

小组2：我们是从平行四边形开始的，S平行四边形＝ah。长方形和正方形都是特殊的平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，所以S长方形＝ab。同样的道理，S正方形＝a·a。

小组3：我们组觉得平行四边形、长方形、正方形都可以当作是上底和下底相等的梯形，三角形就是上底为0的梯形。根据S梯形＝（a+a）×h÷2，可以推出：S平行四边形＝（a+a）× h÷2＝ah；S长方形＝（a+a）×b÷2＝ab；S正方形＝（a+a）×a÷2＝a2；S三角形＝（0+a）×h÷2＝ah÷2。

师：这一组同学竟然用假设的眼光把平行四边形、长方形、正方形、三角形都当成“从梯形”，从而根据梯形推导出面积公式。

利用图形之间的包含关系，把长方形和正方形的面积公式归结为平行四边形的面积公式，第三小组更把这种思维推向极致，把长方形、三角形等都纳入到梯形的范围。既沟通了它们之间的联系，又节约了“记忆的成本”。

小组4：我们小组发现了三角形与圆之间的联系。我们可以把圆沿半径平均切成若干份，每份切得越小，就越接近三角形，把这些三角形摆在一起，就成了许多等高的三角形。三角形的底的和就相当于圆的周长，三角形的高就相当于圆的半径，圆的面积等于三角形的面积之和：2πr·r÷2＝πr2。

师：你的发现真了不起！如果沿半径分成很多份，但不平均分，还能得到这样的结果吗？大家可以在课后再研究一下，相信会有更精彩的发现。

在学生对圆面积的推导过程中，“把圆平均分成若干份，可以拼成一个平行四边形，分的份数越多，所拼成的图形就越接近平行四边形”。学生正是受到它的启发，也尝试着用极限的思想进行大胆尝试。虽然只有少数学生能做到，但这也足以让老师和同学们为之赞叹与兴奋。

四、分享感悟，渗透数学思想

师：通过刚才的分享，大家有哪些收获？

生1：我们发现每个图形的面积之间都相互联系。

生2：假如我们忘记了某一平面图形的面积公式，我们可以根据其他图形的面积公式进行推导。

师：是啊，同学们通过思考，发现从一个图形推出其他图形的面积公式，这其中都蕴含着一种很重要的数学思想——转化。在图形转化的过程中，抓住了“变”与“不变”两个关键。你发现了吗？

生3：图形的形状变了，而面积不变。

师：抓住面积不变的本质，我们可以把陌生图形转化成我们熟悉的图形，从而推导出新图形的面积计算公式。立体图形的体积之间又有怎样的联系呢？请同学们在课后试着也像今天这样整理出它们之间的联系，再与大家进行分享。

复习课，并不一定都要出现很多练习题，甚至搞题海战术。虽然在这40分钟内，我们连预设的综合练习都没来得及完成，但在这节课中，学生之间的交流与碰撞、领略与感悟却频频闪耀出美丽、璀璨的思维之花。在复习课中，学生能通过深入一个图形而发散至整个网络，窥一木而见森林，这又有什么可遗憾的呢？