从对立事件谈逆向思维的训练

吴春红

(西安交通大学数学与统计学院，西安710049)

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WU Chun-hong

(SchoolofMathematicsandStatistics,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049，China)

从对立事件谈逆向思维的训练

吴春红

(西安交通大学数学与统计学院，西安710049)

[摘要]在《概率论》教学中，通过对学生进行逆向思维的训练，可有效地提高学生的思维能力.

[关键词]教学； 逆向思维； 思维能力

现代科技革命对智力和创造力提出越来越高的要求，世界各国都面临着智力竞赛、科技竞赛的迫切任务，促使一批心理学家、思维科学家把思维训练纳入到现代教育中.思维训练，又叫思维教学，是有计划、有目的地为增强思维能力，提高思维品质所进行的训练和教学活动[1].我们可以从所教课程出发，挖掘典型例题，从典型例题中发现有利于思维的好方法.而《概率论》有它独特的概念，即对立事件.有关对立事件及其概率的典型题，它们可作为对学生进行逆向思维训练的练习，而逆向思维有利于学生创造性思维能力的培养.

1逆向思维概述

创造性思维方式有多种形式，其中包括正向思维与逆向思维.正向思维是沿着人们习惯性的、由因到果的思路思考问题的一种思维方式.在通常情况下，这种思维方式比较有效、经济，能解决大部分常规问题[2].但任何事物都包括对立的两个方面，这两个方面又相互依存于一个统一体中.人们在认识事物的过程中，不能只看其中的一方面，而忽视另一方面.如果从反面考虑问题，往往会产生出一些意想不到的结果.

逆向思维是与正向思维相对而言的.逆向思维又称反向思维，是指从反面或对立面提出问题、思索问题的思维过程，是以背离常规的思维方法来解决问题的思维方式.

逆向思维的具体方法有三种，其中之一就是反转型逆向思维法[3]，即从已知事物的功能、结构、因果关系等方面相反方向进行思考，产生构思的途径.这种思维方法在概率论中通常为“对立互补法”.

概率论的教学目的，不止停留在掌握知识这个层面上，而要提高到方法和能力的层面上.主要关注面对的问题以及解决问题的方式.所以，本文通过概率论中的实例分析，对学生加强逆向思维训练，促使其提高创造性思维能力.

2对立事件的定义

对立事件B又叫做“补事件”.

例1设A,B,C为三个事件，试利用A,B,C表达下列事件：

D={三个事件中至多有两个出现}.

这个表达式有7项之多.

这个表达式仅仅1项.

比较两个表达式，法一就是正向思维，而法二换一个角度看问题，从相反的方向思考问题，这就属于逆向思维.逆向思维有助于我们开阔思路，收到意想不到的效果.

3利用对立事件的概率性质加强学生的逆向思维的训练

对立事件的概率性质：对任一事件A，则

这一性质是概率论理论中的独特性质，它为运用逆向思维提供理论依据.利用此性质不仅可以帮助我们解决一些实际问题，而且可以促使学生的逆向思维能力不断提高.

3.1　在古典概率教学中对学生进行逆向思维的训练

在随机事件与概率这一部分内容中，有一些典型例题可以作为对学生进行逆向思维训练的练习.在分析讲解例题时，要强调逆向思维的积极作用.

例2箱子中装有100个产品，其中有3个次品.为检查产品质量，从这箱产品中任意抽取5个，求抽取的5个产品中至少有一个次品的概率.

解法一设A={至少有一个次品}，B1={恰有一个次品}，

B2={恰有二个次品}，B3={恰有三个次品}.

由概率的加法定理，所求概率为

P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)，

即

于是，由对立事件概率的性质，所求概率为

法一的解法就是一步一步按照正向思维方式进行求解.而法二则利用了对立事件的性质求解，体现了逆向思维的积极作用.

例3从n双不同的手套中任取2k(2k

第二步，从取出的2k双手套中各选一只手套，有22k种取法.

从上面的解法看到，一方面利用对立事件的概率性质可以快速求解，另一方面还对学生的逆向思维加以训练，拓展了学生的思维空间.

3.2　在一维随机变量教学中对学生进行逆向思维的训练

在一维随机变量及概率分布这一部分内容中，也有一些典型例题可以作为对学生进行逆向思维训练的练习.下面主要介绍一些离散型随机变量的例题，而对于连续型随机变量的例题则可以类推.在分析讲解例题时，让学生对逆向思维有进一步的体会与认识.

例4设每次射击击中目标的概率为0.001，现独立射击1000次，求至少击中2弹的概率.

解设X表示这1000次独立射击中击中目标的次数，则

X～B(1000,0.001).

对于随机变量，对立事件概率的性质同样适用.于是所求概率为

=1-0.9991000-1000×0.001×(0.999)999≈0.264.

这种解法是利用对立事件求概率的解法，可以作为逆向思维的训练.另外的解法也有，比如用泊松近似公式也可以求解此题.

例5[5]某一城市每天发生火灾的次数X～P(0.8)，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.

解因X～P(0.8)，所以X的分布律为

法一利用泊松分布表求解

则所求概率为

法二对于随机变量，对立事件概率的性质同样适用.则所求概率为

可以看到法一就是正向思维方式的解法，法二就是逆向思维方式的解法.两种方法可以让学生加深对内容的理解并掌握所学知识.同时，学生的思维能力也有所提高.

3.3　在二维随机变量教学中对学生进行逆向思维的训练

在二维随机变量及概率分布这一部分内容中，仍然有一些典型例题可以作为对学生进行逆向思维训练的练习.下面主要介绍一例连续型随机变量的例题，而对于离散型随机变量的例题则可以类推.在分析讲解例题时，再一次强调逆向思维的作用.

例6设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

(i)确定A的值；(ii)求P{X-Y≥0}.

解(i) 由性质，得

得A=3/4.

(ii) 对于二维随机变量，对立事件概率的性质同样适用.则所求概率为

在(ii)的求解中，利用了对立事件的概率性质进行计算，也就是逆向思维的应用，再一次对学生进行逆向思维的训练.

3.4　在中心极限定理教学中对学生进行逆向思维的训练

在中心极限定理这一部分内容中，仍然有一些典型例题可以作为对学生进行逆向思维训练的练习.在分析讲解例题时，反复强调逆向思维的作用，给学生留下深刻印象.

例7计算机在进行加法时，对每个加数取整(即取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.若取1200个数相加，问误差总和的绝对值超过20的概率是多少？

解设每个数取整误差为Xk(k=1,2,…,1200).

所以

由中心极限定理，有

对于随机变量，对立事件概率的性质同样适用.则所求概率为

≈1-[Φ(2)-Φ(-2)]=2[1-Φ(2)]=0.046.

利用中心极限定理求解概率问题，需要用到正态分布的理论.在上题的求解过程中，一方面对学生加强了逆向思维的训练，另一方面使学生加深对正态分布理论的理解与认识.

4结束语

我们可以看到，用于逆向思维训练的实例很多.而思维能力的提高是一个潜移默化的过程.所以，在《概率论》教学中，教师需有意识、有目的地对学生进行逆向思维的训练，并将正向思维与逆向思维相互比较，不仅能使学生加深对知识的理解和认识，而且还能开拓解题途径，对提高学生的思维能力具有极其重要的作用.学生思维能力的提高，对于解决学生日常生活中遇到的问题也有一定的帮助.

[参考文献]

[1]魏奇.现代思维方式与创造性思维[M].西安：陕西人民出版社，2005.

[2]宫承波.创新思维训练[M].北京：中国广播电视出版社，2014.

[3]李存金.大学生创新思维能力培养方法论[M].北京：经济科学出版社，2013.

[4]施雨, 李耀武.概率论与数理统计应用[M].2版.西安：西安交通大学出版社，2005.

[5]吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

AboutCultivatingtheStudents’ReverseThinking

AbilityfromOppositeEvent

WU Chun-hong

(SchoolofMathematicsandStatistics,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049，China)

Abstract:Inprobabilityteaching,thestudents’abilityinabilityofthinkingcanbeeffectivelyimprovedthroughthetraininginreversethinking.

Keywords:teaching;reversethinking;abilityofthinking

[中图分类号]O211

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)04-0040-05