中心矩估计法研究

朱　生，　邹尔新，　姜丽华，　刘诗淼

(1.吉林工商学院基础部数学教研室， 长春130507；　2.长春财经学院数学教研室, 长春130122)

中心矩估计法研究

朱生1，邹尔新2，姜丽华2，刘诗淼2

(1.吉林工商学院基础部数学教研室， 长春130507；2.长春财经学院数学教研室, 长春130122)

[摘要]重点研究了利用样本中心矩估计总体中心矩的理论依据，同时给出了应用实例.

[关键词]点估计； 样本中心矩； 总体中心矩； 矩估计

1引言

矩估计是英国著名统计学家K.earson在1894年提出的.实际问题中，当总体概率分布未知时，点估计是常用的未知参数估计[1]的方法之一，方法的关键是构造估计未知参数的统计量，其中矩估计是一种行之有效的方法.目前教科书及相关文献[2-3]仅介绍了利用样本原点矩估计总体原点矩的方法，如何利用样本中心矩估计总体中心矩则很少提及.本文详细介绍了利用样本中心矩估计总体中心矩的理论依据和方法.

2预备知识

k阶总体原点矩νk=EXk(k=1,2,…),

k阶总体中心矩μk=E(X-EX)k(k=2,3,…),

又R(x1,x2,…,xk)是k个变量的有理函数，且R(a1,a2,…,ak)≠±∞，则

定义2[1]用样本矩估计同类总体矩，称矩估计法.

常用的矩估计法是：用统计量k阶样本原点矩

估计k阶总体原点矩νk.

3主要结论

用样本中心矩估计总体中心矩的矩估计法的定义：

定义3设总体X的分布函数为F(x,θ)，参数θ未知；假定θ可写成总体X的前m阶中心矩μk(k=2,3,…,m)的函数：

θ=g(μ2,μ3,…,μm)，

且μm系数不为0；(X1,X2,…,Xn)是总体X的样本，则用统计量

下面进一步讨论该方法的理论依据.

首先证明

定理1设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本，则有

由引理1得

定理得证.

由此可得

定理2设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本，则有

证由二项式展开定理可得

由引理2及定理1

而由数学期望的性质及二项式定理有

即

定理得证.

4实例

设总体X的概率分布为

X-101Pθ1-2θθ

此时可以利用本文提出的方法，即用2阶样本中心矩估计2阶总体中心矩，可得未知参数θ的中心矩估计.做法如下：

EX=0,

E(X-EX)2=EX2=(-1)2·θ+12·θ=2θ.

由

可得

5结束语

本文对利用样本中心矩估计总体中心矩给出了理论依据，并通过实例给出应用，最终达到估计总体中未知参数的目的.这些结论与实例在《概率论与数理统计》教学中有一定补充与参考意义，能使学生对矩估计有更全面深入的了解，矩估计并不仅仅是用样本原点矩估计总体原点矩，用样本中心矩同样可以估计总体中心矩，而且在某些情况下会有很好的效果(如实例).那么矩估计在实际应用中如何选择那？在能做到估计总体中未知参数的前提下，通常选择矩(无论原点矩还是中心距)更容易求得，同时用低阶矩进行估计.因此用矩估计得到的未知参数的估计量(值)一般不是唯一的.

[参考文献]

[1]于卓熙，李辉.经济数学-概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]范光，李广明.矩估计法的理论注释[J].十堰职业技术学院学报,2012，25(1)：98-100.

[3]张永利.矩估计的基本原理及其解题方法[J].巢湖学院学报,2005，7(3)：47-48.

[4]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计简明本[M].北京：高等教育出版社，2009.

[5]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1982.

The Research of Central Moment Estimate

ZHUSheng1，ZOUEr-xin2，JIANGLi-hua2，LIUShi-miao2

(1.Departments of Basic Mathematics Teaching and Research Section, Jilin Business and Technology College, Changchun 130507, China;2.Mathematics Teaching and Research Department, Changchun University of Finance and Economics，Changchun 130122, China)

Abstract:This paper focuses on the theoretical basis of using the sample central moments to estimate the overall central moments, and give the applied example.

Key words:point estimation； sample central moment； overall central moment； moment estimate

[中图分类号]O212.1

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)04-0109-04