无限循环小数化为分数

王钦林

摘 要：探究无限循环小数如何化为分数，首先从整数部分为0的纯循环小数入手，采用了错位相减法与除法两种不同方式的方程法证明，又用归纳法总结出一般结论及性质.通过举例呈现出方法的应用过程，还把结论推广到混循环小数化为分数和如何判断是否是无限循环小数.利用性质简单解释了“无限趋近”现象.

关键词：无限循环小数；循环节；分数；自然数；有理数

一、无限循环小数的定义

一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数就叫做无限循环小数.其中，依次循环不断重复出现的数字叫做循环节。如，循环不断重复出现的数字只有一个，就叫一节循环，依次循环不断重复出现的数字有两个，就叫两节循環，左起第一个数为第一节，顺次向右为第二节，以此类推.

二、无限循环小数的分类

无限循环小数可以分为无限纯循环小数（以下简称“纯循环小数”）和无限混循环小数（以下简称“混循环小数”）.把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数；把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数.例如， 五、无限循环小数与有限小数的联系

依据除法运算过程，可知纯循环小数的循环节最后一节作商所得余数必然为1，否则不能循环，而有限小数除法运算的最终余数为0，两余数的差为1.我们知道，整数部分为0的有限小数可写成十分之多少、百分之多少等，由上述探究发现，整数部分为0的纯循环小数可化为九分之多少、九十九分之多少等等，分母恰好也相差1.

编辑 孙玲娟