有理数与实际问题运用

杨勇

摘 要：有理数是初中数学的一个基础内容，它是将数学用于解决实际问题的重要工具，也是进一步研究数学（如代数式、方程、函数等）和其他学科的重要基础。通过有理数在实际生活问题中的具体运用的探讨，将数学融入生活，使生活数学化，从而提高学生学习数学的兴趣。

关键词：有理数；实际问题；应用

數学的学习往往偏重于理论，课堂的教学往往又由于个人经验和生活积累的缺乏，教师经常不能很好地将数学与生活联系起来，使得数学课堂枯燥乏味。一堂课的情境引入因此就显得格外重要，如果能做到从生活中的实际问题或是从身边的事物出发来引入新知，长此以往将会使学生慢慢地发现数学的趣味性和实用性，对数学产生亲切感，这就做到了把数学融入生活，将生活数学化，从而提高学生学习数学的兴趣和积极性。

一、有理数的定义

1.正数和负数

要理解正数和负数，数轴是非常形象和常用的工具。0为原点，规定0的右边为正数，左边为负数。可以在数轴上找到相对应却相反意义的数字。比如天气预报：某地最高气温5℃，最低气温

-3℃（读：零下3摄氏度）。5与-3分别是正数与负数。

在日常生活中，还有许多具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示。例：

（1）汽车向东行驶3.5千米或向西行驶2.5千米。

如果规定向东为正，那么向西就为负。向东行驶记作+3.5千米，向西行驶记作-2.5千米。

（2）在自己的账簿中，收入3000元，购买一件衬衣支出180元。

根据经验收入为正，支出为负，那这一次的记账：收入+3000，支出-180。

概括：在以上讨论出现的数中，像-3，-2.5，-180这样的数是负数，像5，3.5，300这样的数是正数。正数前面有时也可放上一个“+”（读“正”）号，如7可以写成+7。尤其需要注意的是：0既不是正数，又不是负数。

2.有理数

到目前为止，我们所学过的数就可以分为以下几类：

正整数；零，即0；负整数；正分数；负分数。

正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

3.有理数的运算

（1）有理数加法法则：

①同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）互为相反数的两个数相加得零；

（4）一个数与零相加，仍得这个数。

例1.计算：

（1）（-5）+（-8）；（2）（-9）+（+12）

解：（1）（-5）+（-8）=-（5+8）=-13

（2）（-9）+（+12）=+（12-9）=3

（2）有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例2.计算：

（1）（-32）-（+5）；（2）7.3-（-6.8）

解：（1）（-32）-（+5）=（-32）+（-5）=-37

（2）7.3-（-6.8）=7.3+6.8=14.1

（3）有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数与零相乘，都得零。

例3.计算：

（1）（-5）×（-6）；（2）（-）×

解：（1）（-5）×（-6）=30

（2）（- ）× =-

（4）有理数除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

零除以任何一个不等于零的数，都得零。

例4.计算：

（1）（-18）÷6；（2）（-）÷（- ）；

解：（1）（-18）÷6=-3

（2）（- ）÷（- ）=

二、有理数的应用

例5.学校旁边的一个超市，举行图书促销会，8名店员每人以销售200本为本基准，超过记为正，不足记为负。8名店员的销售结果如下：

（1）8名店员销售的总量是多少？是否超过了基准量？

（2）销售每本书的利润是1.5元，那么这次一共获利多少元？

解：（1）（200+15）+（200+21）+（200-6）+（200-9）+（200-11）+（200-4）+（200+20）+（200-7）=1619

一共销售了1619本，超过基准量。

（2）1619×1.5=2428.5

这次一共获利2428.5元。

例6.王师傅是卖鞋的，一双鞋进价20元，售价30元。国庆节打八折，顾客来买鞋给了一张50元的钱，王师傅没零钱，于是找邻居换了50元零钱。事后邻居发现钱是假的，王师傅又赔了邻居50元。请问王师傅一共亏了多少？

解析：这道题目在有一段时间内相传很广，且很绕脑子，其实这道题目用我们的有理数知识来解决，是很简单的。

解：记收入为“+”，支出为“-”，假钱记为0。

从邻居处用假钱换零得50，记为+50

顾客找零支出（50-30×0.8）=26，记为-26

则可得算式（-20）+0+（+50）+（-26）+（-50）=-46

所以王师傅一共亏了46元。

编辑 白文娟