求解变截面梁振动特性的假设模态法

马艳龙，李映辉

(西南交通大学力学与工程学院，成都 610031)

工程中很多结构都可简化为变截面梁进行计算，如烟筒、风力机塔架、风机叶片等。目前针对变截面梁振动特性的研究有很多成果［1－8］。周叮［4］对曲率半径沿幂指数变化的一类变截面梁给出了其横向振动的精确解析解。王晓臣［5］用有限元法分析了截面沿梁轴向线性及抛物线性变化的矩形截面梁的振动特性。崔灿等［6－7］采用将变截面梁分段等效的方法，给出了变截面梁振动的半解析法和铁木辛柯梁的快速计算方法。

本文针对自由端附有集中质量的任意变截面梁，在使用假设模态法的基础上得出新的质量矩阵，由此提出一种该类变截面梁的频率和振型计算方法。

1 模型介绍

考虑左端固支，右端附有一集中质量m0的变截面梁，弯曲刚度为EI(x)，横截面积为A(x)，梁的中心轴位移表示其挠度w(x)。变截面梁的结构简图如图1所示。

图1 变截面梁结构简图

在小变形条件下，梁的横向振动方程为

边界条件为:

2 模态函数求解

由于悬臂梁为变截面，且右端有一集中质量，不能使用均匀梁的模态函数，为此设w(x，t)=φ(x)eiωt。其中:φ(x)为待求模态函数;ω 为振动的固有频率。代入式(1)得

设模态函数可表示为

其中:φi(x)为选取的满足边界条件的线性无关函数;a1，a2，…，aN为待定系数。将式(4)代入式(3)可得

对式(5)两边同乘以 φj(x)，然后在［0，l］上积分可得

其中:aT=［a1，a2，…，aN］;M 为广义质量矩阵;K为广义刚度矩阵，其元素定义为

方程(6)为关于a的线性方程组，若使其有非零解，则需满足

由方程(9)可解得 ω =ω1，ω2，…，ωn为变截面梁的各阶固有频率。将ωi代入式(6)可求得相应的aT=［a1，a2，…，aN］，再由式(4)求得变截面梁的模态函数。

3 实例及应用

选取1.25MW SEC-WO2-1250型的风力机高塔作为原型［9］。该塔高 98.12 m，塔底直径为3.9 m，壁厚 67 mm，塔顶直径为 2.55 mm，壁厚20 mm，塔底与塔顶之间的截面形式为均匀渐变，塔顶机舱、轮毂及桨叶总质量为83155 kg。塔材料为钢，密度 ρ为7900 kg/m3，弹性模量 E为210 GPa，泊松比 υ 为0.3。

计算中，选择满足其边界条件的线性无关函数:其中c1i和c2i为φi(x)的系数。根据边界条件(2)可解得c1i和c2i的取值:

φi(x)的个数越多，求得高塔的模态函数φ(x)及固有频率ωi越精确，相应求解的复杂程度也越高，本文取式(4)中的N=8。

为检验该方法的精确度，对高塔模型进行有限元建模分析。采用有限元法、本文方法及文献［8］方法所得的高塔横向振动的固有频率及对比见表1。

表1 高塔模型前4阶固有频率

将固有频率ω代入式(6)求得a，并将a代入式(4)求得高塔的各阶振型。用有限元法计算该塔筒的前4阶振型和同等材料、同等高度、直径为3.2 m、壁厚为0.04 m的等截面梁的振型。前4阶的振型对比如图2所示。

图2 2种模型的前4阶振型

4 结束语

研究了自由端附有集中质量的变截面梁的振动特性，给出了该类变截面梁的固有频率方程及振型的计算方法。通过工程实例的计算，说明了该方法的有效性。

［1］曹志远.变截面塔式结构的固有振动分析［J］.振动与冲击，1990，36(1):40－46.

［2］Ece M C，Aydogdu M，Taskin V.Vibration of a variable cross-section beam［J］.Mechanics research communications，2007，34(2):78－84.

［3］Atmane H A，Tounsi A，Meftah S A.Free vibration behavior exponential functionally graded beams with varying cross-section［J］.Jounral of Vibration and Control，2011，17(2):311－318.

［4］周叮.一类变截面梁横向自由振动的精确解析解［J］.振动与冲击，1996，3(15):13－15.

［5］王晓臣.变截面梁有限元分析［J］.浙江工业大学学报，2012，36(3):311－315.

［6］崔灿，蒋晗，李映辉.变截面梁横向振动特性半解析法［J］.振动与冲击，2012，31(4):85－88.

［7］崔灿，李映辉.变截面铁木辛柯梁振动特性快速计算方法［J］.动力学与控制学报，2012，10(2):258－262.

［8］李映辉，崔灿.含变轴力的变截面梁振动特性计算方法［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2012(5):28－32.

［9］张自立，陈建兵，李杰.圆球减震装置对风力发电高塔的振动控制研究［J］.地震工程与工程振动，2012，32(3):144－149.