基于发现问题提出问题的课例——圆锥曲线中一类最值探究

●蒋荣清(台州市教育局教研室浙江台州318000)●李梦虎(临海市第五中学浙江临海317000)

基于发现问题提出问题的课例
——圆锥曲线中一类最值探究

●蒋荣清(台州市教育局教研室浙江台州318000)●李梦虎(临海市第五中学浙江临海317000)

中国的传统教育有其独特的优势，重视基础知识和基本方法的落实，学生会解题，但缺乏创新能力，说到底就是缺少主动去发现问题与提出问题的意识.我们都清楚提出一个有价值的问题有时比解决一个问题更重要，因此我们在课堂实践中要给学生搭建发现问题和提出问题的平台，并且这个过程应该是自然合理的，具有推广的价值.希望通过这种教学方式的改变来激发学生主动去发现问题的热情.基于这样的想法，笔者设计了一节圆锥曲线中一类最值问题的探究课，旨在抛砖引玉.

1 教学设计

1.1 教学目标

1)会选择已有的知识和方法求解圆锥曲线中有关最值的问题;

2)在解决问题的过程中，理解常用的一些数学思想方法，如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、类比思想、对称思想等等;

3)在一定的情境下通过类比、归纳等方法去自然合理地发现问题和提出问题;

4)体会几何画板寻找问题和解决问题的作用;

5)感受数学之美妙，激发学习数学内驱力.

1.2 教学重点与难点

教学重点1)设置合适的问题为学生自己提出问题及解决问题提供有效的方法和途径;

2)理解处理解析几何中有关距离最值的常用思想方法.

教学难点提出问题和解决问题的策略以及对提出的问题开放度的把握.

1.3 学情分析

上课的对象是实验班学生.他们已学完解析几何全部内容，数学基础扎实，有一定创新能力.

1.4 教学方法

在教学上主要采用探究发现和启发式教学法，并结合电脑演示，激励学生积极参与，在问题提出和解决过程中渗透类比、化归、分类讨论、数形结合等数学思想，学生通过观察、发现、猜想、验证、应用等一系列探究活动，层层推进，环环相扣，体现数学严密性、系统性和趣味性.

2 教学过程

2.1 课题引入

引言:我们有些同学觉得学习数学枯燥乏味，其实不然，一旦你投入进去，喜欢上它，那就乐趣无穷.让我们先看大数学家欧拉的一段话(投影)，“这个世界仿佛是由最聪明的造物主所创造，以至于在任何事物里都包含着极大或极小的道理.”——欧拉.然后老师给出欧拉这段话的一个注解.

图1

图2

如图1，已知一条定直线及定直线同一侧的2个定点M，N，在直线l上找一点P使得|PM|+ |PN|最小(高二实验班学生对这个问题基本上是清楚的).

生:如图2，作点M关于直线l的对称点M'，联结M'N交直线l于点P，则点P就是所要找的点.

师:由图2知:∠1=∠3，∠2=∠3，因此，∠1=∠2，那么自然界中有什么现象是反映这一特点的呢?

生:光线.

师:如果入射光线经过点M，反射光线经过点N，l为镜面，则入射点一定选择点P，这说明光多聪明(学生大笑!)，其实自然界与数学是和谐统一的，也算是欧拉这段话的一个注解.今天我们一起来探究圆锥曲线中的一类最值问题.

2.2 问题探究

2.2.1 初始问题

这个问题很快被学生解决.教师指明先画图，判断出点N，M在抛物线异侧，是解决本题的关键.

师:解完一道题后，还要做什么呢?

生:反思.

师:说得好!我们做完一道题后，要常回头看看，对于本题反思什么呢?如果点不变，将点移到抛物线内部，那么解决方法将有什么变化呢?

图3

图4

2.2.2 变式问题1

生1:将点M，N移到抛物线同一侧(出示变式1，如图4).

变式1N(1，2)→N(1，1)(其他不变).

生2:作点N关于抛物线的对称点N'，然后联结MN'.

师:如何作出点关于抛物线的对称点呢?

生3:切线.

师:抛物线有多少切线呢?看来出现问题了，你的想法不错，是类比引入直线问题中的解决思路，谁有不同的想法?

师:很好，观察出点M为抛物线焦点是本题解决的关键所在，然后利用定义，将|PM|转化为点P到准线的距离.这里用到化归思想.

问题解决后，教师用多媒体演示结果.

师(问):化为关于y的函数问题后，直接用代数法求解，会吗?(学生摇头)其实，根式中又有4次，有难度.

教师指出此题难用代数方法做，但是现在让你做该题，会吗?根据前面的解答，只要将此题化为几何问题即可解答，这又一次看到数形结合的妙处.紧接着指出将N(1，2)改成N(1，m)(其中m固定)又如何呢?

2.2.3 变式问题2

变式2N(1，2)→N(1，m)(其他不变).

学生从前面的解答过程可知，解决的关键是确定点N在抛物线内还是外?因此要进行分类讨论，那么分界点是什么呢?结合图形得到是分界点，然后教师板书出结果:

师:有时从逆向思考问题，会有很大收获，那么这道题改成逆向问题又如何呢?

2.2.3 变式问题3

分析该问题如何处理呢?学生发现点M仍是焦点，因此点M，N在抛物线同侧还是异侧是求解的关键，需要分类讨论(让学生课后完成).

师:我们再来看一下原题已知中有几个点?

生:3个点.

师:这3个点有什么特点?

生:2个点是定的，1个点是动的，动点在定曲线上.

板书:M，N，P，其中M，N是2个定点，P∈C，C是定曲线.

师:对于抛物线C，还可以变为哪些曲线呢?

生:圆、椭圆、双曲线等.

师:直线是不是呢?

生:是.

师:因此将刚才抛物线改为其他曲线，就会出现新的问题.

问题很多，我们重点解决几个，先解决圆中的情形.

出示投影，如图5，当点M，N确定时，拖动圆周上的点P，让学生观察|PM|+|PN|大小变化情况，在实验过程中，让学生猜想点P在何处时，|PM|+|PN|取到最小?

大多数学生认为M，N，P这3个点共线时取到，但实验的结果出乎意料.

图5

师:看来直觉有时是不可靠的，还需要论证.通过多媒体演示，大家应该明白，计算机技术的诞生，给数学研究提供了广阔的空间，有没有听过4色问题?地图上的相邻国家要用不同颜色画出地图，这个问题几百年来都没有得到解决，直到1976年美国数学家运用计算机花了一千多个小时，才得到了解决.

对于刚才这2个点M，N，如果一般化该问题还是比较困难的，我们让其中一个点特殊一些，取哪个点呢?

生:圆心.

师:好的，看屏幕.再次猜测点P在何处，使|PM|+|PN|取到最小值?

生:M，N，P共线，实验结果与猜想一致.

师:这次大家猜对了.但是数学是不能仅满足于实验结果的，是要讲道理的，那么为什么在点P'(MN延长线交圆周于点P')，取到最小值呢?

如图6，学生发现|PM|=|P'M|，因此问题转化为证明:|PN|≥|P'N|，再分析△PMN得到:

|MN|+|PN|≥|PM|=|P'M|=|MN|+|NP'|，从而|PN|≥|P'N|.

至此，该问题得到解决.对于更一般的情况让学生课后去研究.接下去讨论椭圆问题.对于椭圆，其中一个点取焦点(若不然，该问题难度很大).

图6

图7

如图7，点P是椭圆上的动点，点F为椭圆的一个焦点，点M为椭圆内的一定点，试讨论|PM|+|PF|的最小值.

这个问题出示之后，马上有学生联想到准线，即椭圆上到焦点的距离|PF|转化为到准线的距离|PK|.但教师指出

接下来不容易!又指出|PM|+|PF|≥|MF|对吗?

生:对，但等号不能取到，故取小值不是|MF|.

师:既然一下子找不着思路，让电脑帮助大家先找到点P在何处时，|PM|+|PF|最小.

通过几何画板演示，随着点P的移动，|PM|+ |PF|不断改变，发现在点F'，M，P(F'是另一焦点)共线且点M在线段PF'上时，|PM|+|PF|最小;当点M，F'，P共线且点F'在线段PM上时，|PM|+|PF|最大.再次要求学生思考这是为什么?

师生(一起分析):由椭圆第一定义知:

因为||PM|－|PF'||≤|MF'|，所以

因此(|PF|+|PM|)min=2a－|MF'|.

在解决这个问题的同时，得到了一个副产品，即(|PF|+|PM|)max=2a+|MF'|.至于双曲线等类似问题，让学生回去思考.

2.2.4 开放变式问题

师:前面研究的3个点有2个点定，1个点动，能否再变一下呢?

生:2个点动，1个点定.

师:很好，让2个点在某2条曲线上运动，看看又能编出什么问题?请同学自编问题，画出示意图即可.

几分钟后，学生提出了不少问题，教师通过实物投影仪展示.由于问题很多，选择其中一个.

图8

如图8，已知l1:x=0，l2:y=x，P(1，2)，点M，N分别在l1，l2上运动，让学生就这些条件，尝试提出问题(目的是让学生充分参与到课堂活动中，体会发现问题和提出问题是有章可循的).

生:求△PMN面积，周长最小值.

师:很好，先直观判断△PMN的面积有无最小值呢?

学生发现点M，P，N接近一直线时，面积接近0，而点M，N，P在同一直线上，不是三角形，因此不会有最小值，最大值显然不成立.但对求(|PM|+|MN|+|NP|)min就是一个问题.

已知l1:x=0，l2:y=x，P(1，2)，点M，N分别在l1，l2运动，求:

1)(|PM|+|PN|)min;

2)(|PM|+|MN|)min;

3)(|PM|+|MN|+|PN|)min.

分析1)(|PM|+|PN|)min即为点P到2条定直线的距离之和.

2)较难.难在点M，N都变，当多点在运动时，可以先局部固定一些点，先让点N不动，找点M在何处时，(|PM|+|PN|)最小.这个问题又转化到引入中的问题，只要作点P关于y轴的对称点P'，联结P'N交y轴于点M'，最小值为P'N，再让点N运动，因此所求的最小值为P'(－1，2)到l:y=x的距离，即为.

3)作出点P关于直线l2的对称点P″，则

的最小值.可以说该题达到竞赛题级别.

师:由于时间关系，类似问题课后研究，但我们还可以提哪些问题呢?看屏幕.

1)刚才讨论了3个点中2个定点，1个动点;2个动点，1个定点，那么3个点都在动呢?

2)将3个点改成4个点、5个点……，结果又如何呢?

3)解决最值问题有哪些常用方法?

4)讨论的问题由平面推广到空间呢?

5)代数问题几何化……

2.3 小结

通过这一节课，希望大家能感悟到:

1)如何去发现问题和提出问题.“提出一个问题，比解决一个问题更重要”，这句话是谁说的?(生:爱因斯坦)大师说的话一定有道理，那么如何提出问题呢?譬如将曲线是抛物线改成圆、椭圆等，用什么方法呢?(生:类比)对!我们可以运用很多方法提出不同的问题.

2)这一节课涉及很多思想方法:类比思想、对称思想、分类讨论思想、化归思想等等.

3)实验与理性结合起来，珠联璧合.

总之，数学是奇妙的，关键在于观察与思考.在获得知识和方法的同时，创新意识得到培养.

2.4 作业

1)自选本节课的一些课堂上没有完成的问题继续探究;

2)尝试用类比思想提出一些新的问题，然后与同学交流.

3 教学反思

本节课基于以下几点考虑:

1)2002年，在中国召开的数学大会上，著名数学家陈省身教授为青少年数学爱好者题的词是“数学好玩”，紧接着田刚院士又题了“玩好数学”.这一节课努力使学生感悟数学的鲜活、有趣，激发学生对数学的浓厚兴趣和探究的欲望，同时又要引导学生如何去玩好数学.

2)新课程中强调改变学生的学习方式，为了改变学生的学习方式，就必须建立与之相适应的教学方式，教师关注的不仅仅是知识点，还要引导学生不断地提出问题，使学习过程变成不断提出问题、解决问题的探究过程.

3)如何教会学生发现问题呢?这是本节课的一个重要方面.著名数学家拉普拉斯说:“甚至数学里发现真理的主要工具也是归纳与类比.”归纳与演绎，分析与综合，是在实践的基础上发现真理、认识真理、发展真理的重要方法.

4)教学生在自己的思维活动中多问几个“为什么?”“根据什么?”“怎样想到的?”特别是经常问自己，题目还有没有别的解法呢?题目还能不能变化、引申，即进行“一题多变”和“一题多解”的思考，真正促进学生思维能力的提高.

总之，在新课改中，笔者认为教师需要有一个开放的教学心态和胸怀，把教学教育做得大气一点，把培养学生成长的目标放得远一点，不过度吝惜一题一卷的得失，让学生的学习过程给他们带来更多的自主和惊喜.