一道不等式问题的错解引发的思考

●王荣鑫(邗江中学江苏邗江225009)

一道不等式问题的错解引发的思考

●王荣鑫(邗江中学江苏邗江225009)

1 问题缘起

进入高三复习阶段，学生在知识体系趋于完善的同时也具备了一些基本的解题策略.但有时仍会顺题而解，落入命题的陷阱，得到错误的思路，或者选择了易想而难算的方法，与正确结果渐行渐远甚至背道而驰.罗增儒教授说过:“解题愚蠢是与解题智慧相对照的一个词，并且主要用于自己.解法不够本质、付出的解题力量大于标准解法的解题力量，都包含着解题愚蠢.”笔者一直在思考，如何才能让学生告别这些“解题愚蠢”?下面以一道不等式问题为例，结合课堂教学片断，谈一些个人不成熟的思考.

例1关于x的不等式x2－ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有2个整数，则实数a的取值范围是______.

(江苏省连云港市2013届高三期末考试试题)

本题是填空压轴题，考查含参不等式问题，综合性强，难度较大.

2 教学片断

2.1 错解分析

教师出示例题，学生作答.由于一元二次不等式是常见题型，学生下手很快，但大多数学生并没有得到正确结果，有些苦苦思索无从下笔，有些则迷失方向，盲目地在复杂的计算中彷徨.巡视中发现了一类错解，是笔者在备课前没有预料到的，是否仍然按照课前的预设进行讲解，短暂的犹豫之后，笔者决定先让学生谈谈自己的想法.

师:大部分同学都有了自己的想法，这道题短小精悍，貌似很“善良”，可是下手容易，得手难啊(学生纷纷点头表示赞同).现在请生1谈谈自己的想法.

生1(实物投影展示):不等式解集非空，则Δ＞ 0，得a＞8或a＜0，解不等式得:(记为x1＜x＜x2).因为解集A中恰有2个整数，2个整数之间的“距离”最小是1，恰好有2个就不会超过2，所以1＜|x1－x2|＜2，然后代入解不等式.

师:很好，生1直接解出原不等式，然后“翻译”转化题中条件“若集合A中恰有2个整数”，据此构造相关不等式，目标明确，思路清晰.对他的想法，有不同意见吗?

生2:“1＜|x1－x2|＜2”不是“集合A中恰有2个整数”的充要条件，画出数轴就可以举出反例了(如图1所示).

图1

师:很好，爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，生2发现了生1解法中的问题，并举反例说明生1解法的错误，同时，举反例也是一种非常重要的数学能力.但我认为生1的想法中依然存在着闪光点，是否能够修正原本错误的解法?或者你有其他更优的思路吗?

2.2 错解修正

生3:我认为生1的方法很好，他已经直接解出了不等式，将关于x的一元二次不等式转化降为一次，我感觉到他已经很接近真相了.问题的关键在于题目中的“解集A中恰有2个整数”这个条件还可以怎么用?

师:你的评价很到位，那就请按照你的想法，继续下去.

生3:我认为可以考虑缩小x1，x2的范围.

(兴奋地冲上讲台投影展示)当a＞8时，x=4必然是不等式的1个整数解，x2是以a为自变量的函数，在(8，+∞)上单调递增，故x2∈(4，+∞)，从而

1)x1∈［3，4)，x2∈(5，6］，2个整数解为4和5，即

2)x1∈(2，3)，x2∈(4，5］，2个整数解为3和4，a∈φ.

2.3 解法优化

师:非常好，生3在前2位同学的基础上对错解进行了修正.他采用函数单调性结合估算的方法来缩小整数解可能值的范围.刚才这几位同学告诉我们，错误并不可怕，我们可以从错误的解法中探寻到正确甚至更加高妙的思路.大家对他的解法有什么评价?解法可以再优化吗?

优化1数形结合

生4:生3的的方法很好，他把x1，x2看成以a为自变量的函数，这种想法很有意思，但计算太繁了.我认为他运算基本功非常扎实，可总觉得有点“杀鸡焉用屠龙刀”的感觉(学生大笑).我想用二次函数构造函数f(x)=x2－ax+2a的图像来解决问题，但是画图好像很麻烦，进行不下去(其他同学表示有同感).

师:考虑到“三个二次”之间的联系，用二次函数解决一元二次不等式问题，是一个很自然的想法.这个函数图像的形状和位置由字母a控制，我们不妨取一些特殊值来得到特殊的图像，然后让a变化，函数图像就会“动”起来，也许能最终解决问题.下面继续尝试，看看是否能完善这种解法.

生5(投影):构造函数f(x)=x2－ax+2a，如图2，当a=8时，图像与x轴相切于点(4，0)，a变大，图像向右向下移动，x1减小，x2增大，当a=9时，抛物线对称轴为，图像经过点(3，0)，(6， 0)，可知2个整数解必为4和5，则f(3)≥0， f(4)＜0，f(5)＜0且f(6)≥0，解得.当a＜0时，同理可得.综上所述，，当直线经过点(3， 9)时，a=9，此时直线也经过点(6，36)，则.当a＜0时同理可得，故

图2

图3

图4

师:数形结合是解决不等式问题的一个重要思路.以上解法还可以再优化吗?

优化2左右分离

生6:含参二次函数图像的动态讨论太复杂，可以考虑把－ax+2a移到不等式右边，再画图.

(投影)原式可化为:x2＜a(x－2)，如图3，g(x)=a(x－2)是恒过定点(2，0)的一系列直线，研究抛物线y=x2图像在直线下方的部分.当a=8时，直线与抛物线相切，x=4必为不等式的解，当a＞8时，a越大直线越“陡”，另一解可能为3或5.当直线经过点(5，25)时，

优化3参变分离

生7:我认为干脆就把a与x分离，分离以后，画图更容易，计算也更加简单.

(投影)原式可化为:x2＜a(x－2)，当x＞2时，;当x＜2时，.令x－2=t，则，研究“打勾函数”的图像在直线y=a－4下方的部分.如图4，p(1)= p(4)=5，，p(2)=4，则2个整数解为2或3，故

师:生1紧扣已知条件直接解出含参不等式，生2利用数轴举出反例，生3在前面2位同学的基础上率先得到了正确的结论，生4～生7各显神通，利用数形结合，使抽象问题具体化，让我们大开眼界.其中生7运用参变分离，避开二次函数图像的动态讨论，又进一步降低了计算量和思维的难度.不知不觉中，我们从错误走向了成功.大家在解题过程中的表现都非常棒!

3 几点思考

以上是高三一轮复习课的一个片段，一个始料未及的错误，打乱了笔者的教学方案，但也正因为此，才多了一些意外的收获和体会.通过对这道题目的讲授，笔者有如下一些思考:

3.1 成功⇒错误

在巡视学生做题时，笔者发现班上约有20%的学生都犯了与生1相同的错误，立即调整了原本的教学方案，直面这个意外的错误.但如果只是简单地指出错误，就失去了一次绝佳的“纠错”良机，因此笔者选择让学生自己去发现并纠正其中的错误.黑格尔说:“错误本身是达到真理的一个必然的环节.”在平时的教学中，教师不能轻易批评或者否定学生的错误做法，不能强行修改学生的思维轨迹，而应选择适当的教学方式，引导学生发现原有思维轨迹中的偏差，多角度剖析、探讨、反思错解，并对已有的错解作出修正和优化，消解学生“畏错”的心理障碍，让学生探索、发现错误中所蕴藏的成功契机，渐渐告别“解题愚蠢”，在“知错→议错→纠错”的过程中品味成功的喜悦.

3.2 学生≥教师

本题是一道高三期末考试的“把关题”，据命题人透露，某重点高中本题平均得分为0.2分，难度颇大.原教学方案是学生思考然后教师直接讲授，但是受生1、生2启发，笔者决定让学生自由思考发言，教学过程居然出乎意料的顺畅，学生的好点子层出不穷，真可谓惊喜连连.教师要坚信“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”.就解题教学而言，每一种解法都是一个思维的终极结果.如果教师缺乏对学生的信任，在解题教学中忽视学生思维形成的过程，直接将解题过程扔给学生，学生就会从课堂的参与者退化成教师解题的旁观者，甚至异化为数学的厌恶者，一旦离开教师就无所适从，不会独立思考.在课堂教学中，教师虽然“闻道在先”，但也要大胆放开手，给予学生充分的信任，将课堂的主动权交还给学生.

3.3 对话⇒生成

在授课过程中，由于课堂没有完全遵照自己预设的走向，笔者内心其实是有些许忐忑的.但在与学生的对话中，认真倾听学生的想法和做法的同时，带领学生探索思考，学生顺利地得到了笔者本来准备花费巨力去讲解的“简洁”解法，笔者真切地感受到了一种酣畅淋漓的痛快.在日常教学中，教师要敢于调整自己的教学方案，引导学生在关键处对话，在质疑中释疑，让数学思维在自由对话中动态生成.教师“不能垄断课堂上的话语权，但也不能放弃课堂上的话语权”.教师要充分利用自己的“术业专攻”，引导学生在解题过程中对话，比较与评价不同的思路，引导学生思考一系列的问题.例如怎样才能得到这些思路?这个思路的错误在哪里?已有解法是否可以再优化?是否可以削减解题中冗余的思维回路?所有解法的共性是什么?一旦学生的主动性被唤醒，话语交锋引发出思维碰撞，会击穿妨碍思维的魔障，激活学生的多元思维，提升理性思维的广度和深度，生成真正属于自己的“解题智慧”.

行文至此，以罗增儒教授的一段妙语结束本文，并与诸君共勉:“即使我很笨，我也有机会通过解题过程的分析而学会聪明，并且聪明是由自己习得的.”

［1］罗增儒.解题分析——再找自己的解题愚蠢［J］.中学数学教学参考:上旬，1998(4):21-22.

［2］徐明.小填空，大乾坤——一道统考题的命题构思与反思［J］.中学数学教学参考:上旬，2013(6):61-63.

［3］水菊芳.我们不是课堂“神话”的缔造者——“将课堂交给学生之我见”［J］.中学数学教学参考:上旬，2013(12):26-29.

［4］罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁:广西教育出版社，2008:251.