追及问题的分类解析

许文

直线运动中的追及问题是运动学中的一个典型应用实例，我们经常会遇到。追及问题可分为追及中的极值问题、相遇问题，下面进行分类解析，以帮助同学们掌握其特点，探索其解法。

一、追及中的极值问题

对于追及中物体间距的极值问题，一般我们可以先假设物体运动了一段时间t，找出它们的间距s与t的函数关系式△s（t），再利用函数的相关知识求其极值。

例1 相隔一定距离的A、B两小球的质量相等，假设它们之间存在恒定的斥力作用。原来两球均被按住处于静止状态，现突然松开两球，同时给A球以初速度u₀使之沿两球连线向B球运动，B球初速度为零。若两球的距离从最小值（两球未接触）恢复到原始值所经历的时间为t₀，求B球在斥力作用下的加速度大小。

分析与解：设两球原来距离为Z，两球的加速度大小均为a，从开始运动时间￡后两球的间距应为。由函数知识可知，当

点评

物理极值问题是某种特殊状态下的取值。取得物理极值的状态即为临界状态，对临界状态的分析要充分挖掘出题目中存在的临界条件。对于追及中物体间距的极值问题，我们可以先找出运动物体间距与运动时间的一般函数关系式，然后再由一般到特殊进行分析。

二、追及中的相遇问题

两物体相遇的实质就是两物体在同一时刻有同一位置坐标，相遇即有△s（t）=0，式中t即为相遇时间，t有实际意义解的个数即为两物体相遇的次数。

例2 甲乙两物体在平直公路上同向行驶，它们运动的速度图像如图1所示，其中△POQ与△QOT的面积分别为S1与，初始时甲在乙前面So处，则下列说法正确的是（）。

A.若，两车不会相遇

B.若，两车相遇2次

C.若.，两车相遇1次

D.若，两车相遇1次

分析与解：从两车运动的v-t图像来看，可设甲车做初速度为零、加速度大小为a1的匀加速直线运动，乙车做初速度为Uo、加速度大小为的匀加速直线运动。在T时刻两车速度相等，即有得。运动时间t后两车间距为，若两车相遇则有。这个方程关于t的解即为相遇时间。此一元二次方程根的判别式为。由①③得。可知：若，则△<0（t无实数意义的解），两车不会相遇；若则△>O（t有两个实数意义的解），两车相遇2次；若，则△=O（t有一个实数意义的解），两车相遇1次；若，则△<0（t无实数意义的解），两车不会相遇。故本题正确答案为ABC。

点评

本题解答中①式是从题目给出的图像中找出的一个隐含关系，它对问题的分析与求解很关键。如果以甲车为参照物，在运动时间T内乙车相对甲车的相对位移应为s1也很容易得到①式。

追及中的相遇问题是运动学中最常见的问题之一，解题的方法较多。一般有：（1）解析法。分析追及物体与被迫及物体之间的运动情况，建立相应的时间关系、位移关系、速度关系、加速度关系等方程，从而解决问题。（2）图像法。在同一坐标系中画出追及物体与被追及物体的速度图像或位移图像，从图像中寻找相应关系来解决问题。（3）转换参考系法。选择适当的参考系来简单描述追及中物体的运动。同学们可根据问题的具体情况选择合适的方法来解决问题。