数值分析实践讨论课的探索研究

马宁 张明

摘 要：文章通过对误差的定量分析，得到数值计算中应遵循的一些原则，围绕着如何让学生学会运用这些基本原则去解决实际问题，开展了广泛的讨论。数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。数值分析跟各个学科紧密联系，相互促进，以成为科学研究、工程设计必用的基本工具。具体阐述了数值分析实践讨论课的实施步骤及过程，并给出了具体实例，最后提出了几点体会与心得。

关键词：数值分析 舍入误差 实践讨论课 探索研究

中图分类号：G642.423 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）09（b）-0033-02

为了让同学们更好地掌握这门知识，开展了数值分析课外实践讨论课。学生结合自己所在学科领域进行选材，并从选题背景、解决方法、误差分析、结果与讨论4个方面进行阐述。在老师的悉心指导和同学们的积极参与下，实践讨论课顺利完成，达到了预期效果。该文将从以下几方面简要分析总结。

1 引言

在科学和技术的发展过程中，科学理论和科学实验一直是两种重要的科学方法和手段。但是，对于一些复杂的科学与工程问题（例如太大或太小，太快或者太慢的问题）理论分析往往无能为力，而实验又无法进行，因此需要新的科学研究方法的出现。20世纪40年代电子计算机的发明为科学计算成为第三种科学研究的手段提供了可能。我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。随着计算机的飞速发展，科学研究与工程设计的手段逐渐由理论分析、模拟实验向科学计算的方向转变。科学计算与科学理论、科学实验并列为现代科学的3个组成部分。科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。科学计算是一个新兴的发展十分迅速的科学。先后产生了计算数学、计算物理学、计算力学、计算化学、计算材料学等一系列与计算相关的分支学科，今天科学计算已经渗透到各个学科。

科学计算是利用计算机通过计算的手段来解决实际问题的一门科学。其处理问题的过程必须按照下面的步骤进行：实际问题→数学模型→数值方法→程序设计→上机计算→分析结果。

从实际问题到最终得到计算结果，这中间经过的每一个环节都有可能产生误差。由实际问题数学模型化所产生的误差称为模型误差，在数值分析课中我们不加以讨论。我们把一个数学问题做数值计算时可能产生的误差大致分为如下3类[1]。

1.1 原始数据误差

原始数据误差也称观测误差。数学模型中的一些物理量和原始数据都要通过观察和测量得到，而在观察和测量中要受到方法和仪器的测量精度的限制必然会引进误差。这些误差会影响以这些数据为基础的任何计算解的精度，在数值分析中一般也不直接讨论这种误差，而是用分析舍入误差的方法来分析这些误差在计算中的传播和影响。

1.2 截断误差

截断误差又称方法误差，它是指用数值方法求解某个数学问题的逼近误差，其中包括截取的有限项近似无穷级数所产生的误差；也包括用容易计算的化简问题代替不方便计算的复杂问题所带来的误差等。

1.3 舍入误差

舍入误差又称计算误差，由于机器字长的限制使得任一个实数在机器中要被舍入而被近似的表示成机器浮点数而引起的误差。所以，原始数据表示成机器数有误差，而每一次运算又可能产生新的误差。这种舍入误差在数值计算的每一步计算中都会产生，并且逐步传播和扩散从而影响计算解的精度。

在教学中截断误差都是结合具体的数值算法讨论的。对于舍入误差通过数值例子认识到舍入误差对计算结果的影响很大。如何克服舍入误差对计算结果的影响却是数值计算中的难题。我们选择舍入误差作为数值分析课外实践讨论课的选题[2]。

2 数值计算中应遵循的一些原则

通过对误差的定量分析，我们可以得到数值计算中应遵循的一些原则[1]。

（1）防止“大数吃小数”。

计算机中数的加、减法计算特点是：先对阶，后运算，再舍入。例如在F（10，4，-33，33）的计算机上计算1+104：

1+104=0.1000×101+0.1000×105 =0.00001×105 +0.1000×105（对阶，靠高阶）=0.10001×105 =0.1000×105=104。

这是因为在计算机内计算时，做加减法运算要先对阶后运算。因此出现大数“吃掉”小数，影响计算结果的可靠性。为了防止这种情况出现，加法的最佳方案是从最小数到最大数依次相加。特别当参加运算数的数量级相差很大时，采取从最小数到最大数依次相加的运算次序可以防止“大数吃小数”的现象。

（2）避免两相近的数相减。

由和、差的误差估计式

知，两个相近的数相减时，相对误差较大。因此数值计算中应避免两相近的数相减，防止严重丢失有效数字。

（3）避免用绝对值小的数作除数。

由商的误差估计式

，当绝对值小的数作除数时，会产生溢出错误， 因而产生大的误差。因此數值计算中应避免用绝对值小的数作除数，此时可以用等价的数学公式转化后再计算。

（4）合理安排计算步骤，减少运算次数。

简化计算步骤直接影响计算的速度和误差的积累，若能减少运算次数，可以减少计算过程中的舍入误差，也可减少用机的时间。

（5）减少不准确的原始数据的影响。

实际工程问题的原始数据都是具有有限精度的近似数，它的精确程度是通过保留几位有效数字体现出来的，比如个有效数字。但在用原始数据作计算时不能只取位，这样计算中舍入引起的误差将在第位引入，最终会使计算解的精度达不到原始数据的位有效数字的精度。因此，为了不致使计算结果比原始数据的精度更坏，就应使原始数据多保留几位有效数字，比如取位，而。这样计算中的舍入引起的误差就会在第位引入，而不是在位引入了。

3 实践讨论课的实施程序

为了让学生学会运用上面这些基本原则去解决实际问题，我们关于舍入误差开展了广泛的讨论。首先让学生去搜集资料，然后教师对学生搜集到的资料进行挑选，选择典型例子开展讨论课[3-4]。

3.1 搜集资料阶段

开展实践讨论课首先要根据主题搜集资料，我们要求每个学生结合自己的专业，利用学习到的减少舍入误差的知识，解决工程应用中的问题。

3.2 挑选资料阶段

结合学生所提交作业进行选材，所选题材需条理清晰，能够从选题背景、解决方法、误差分析、结果与讨论4个方面进行阐述。此外，选材中注重题材的广度和深度，尽可能多地覆盖各个学科，内容丰富且具有实际意义，如化工热力学中计算相态的模型公式，反应工程中高温炉里组分的迭代计算，石油工程中钻井方向的控制，物理学中弹簧抗疲劳拉伸试验等。这些题材不仅能让学生学到知识，并且深刻领悟到“学以致用“的精髓，也为今后的科学研究提供思路。下面例举一些学生选题题目。

（1）数据舍入误差对大流量齿轮泵瞬时流量仿真精度的影响；

（2）压力恢复试井中MDH曲线由使用条件引起的误差分析；

（3）计算悬点运动规律的误差分析（采油工程）；

（4）拟无矩状态结构力学中的误差分析；

（5）压力恢复误差分析；

（6）厄沃特什改正中减小误差的方法；

（7）流体力学中的误差分析；

（8）弹簧强度可靠性算法的误差分析；

（9）克服温度舍入误差影响的恒壁温Nux数计算方法。

3.3 讨论课阶段

为了让同学们充分展示自己的成果，同时激发更多同学的学习兴趣，去发现、去关注数值分析在自己所在领域的应用。因此，根据提交的材料，精心组织学生进行口头陈述。整个讨论过程由学生签到，PPT讲解，现场提问，老师打分，照相留影5个部分组成。在讨论课中，同学们展示了扎实的专业知识和活跃的思维，宽广的知识面，给大家留下了深刻的印象。下面给出讨论课上的一个实例：压力恢复误差分析。

井的压力恢复过程，对于压力的求解可以利用叠加原理，等效为井A继续以原产量Q进行生产，而另一口虚拟井A以同样产量，从关井那刻向井底注入与原平量1Q相同的液体，使压力上升。

对于A井，，

对于A'井，，

则，井底压力可表示为

当时，就出现大数减小数的情况，如果不进行处理时，大数就会吃掉小数，造成误差，无法得到精确的井底压力。同学们对线性流、双线性流、平面径向流、球面流情形做了充分讨论，具体如下。

线性流，

双线性流

，

平面徑向流，

利用无穷级数

，

，

球面流

，

最后采用分母有理化、利用无穷级数、对方程式变形的方法来克服大数吃小数。

4 结语

从上面的整个教学过程看，通过“自学研究”、“讨论研究”后，学生的积极性高，主动性强。培养了学生学会发现问题，解决问题的能力。通过专业领域的应用问题，学生所获得知识，不是老师“灌”进去的，而是学生通过自己动脑、动手、动口主动获得的，老师的作用只在于组织引导，质疑解答。通过交流讨论使学生明白了数值分析在工程各个领域中的应用。活跃了学生们的学术研究氛围，丰富了工程领域的数学方法。学生们的普遍反应是：数值分析课程难学，内容丰富，实践性强，应用广泛，费时间，费力气。但是学下来最有用，是受益终生的数学课。数值分析实践讨论课达到了预期的效果。

参考文献

[1] 张明.应用数值分析[M].北京：石油工业出版社，2012.

[2] 王浚岭.研究型教学模式探索[J].高等理科教育，2006（2）：90-93.

[3] 蔡大用.数值分析与实验学习指导[M].北京：清华大学出版社，2001：131-134.

[4] 杜廷松.数值分析实验课研究型教学模式探索[J].高等理科教育，2008（4）：105-109.