二次型化简中的几个问题

张立新

(鞍山师范学院数学与信息科学学院，辽宁鞍山114007)

二次型是高等代数中比较独立的内容，它的理论不仅应用到数学的其它分支，而且在物理、力学、工程技术中也有着广泛的应用．二次型的化简是这部分的主要内容，通过二次型的化简，可以提高后续有关二次型理论的认识，这就使得二次型的化简显得尤为重要．

1 化简二次型为标准形的主要方法

1．1 配方法

配方法是化简二次型为标准形的基本方法，用此方法的关键是消去二次型的交叉项，分如下两种情形处理:

1．1．1 情形1 如果二次型f x1，x2，…，xn(

)含x1的平方项和x1的交叉项(a11≠0)，则集中二次型中含x1的所有交叉项，然后与含x1的平方项配方，并作非退化线性替换，如此进行下去直到化二次型f为标准形为止．

1．1．2 情形 2 如果二次型 f x1，x2，…，xn(

把f化为一个含y2i平方项的二次型，再用情形1的方法化为标准形．

解 令

则

再令

即

1．2 合同变换法

由于二次型与其矩阵(对称阵)是一一对应的关系，所以如果从矩阵的角度来研究二次型的化简，就用合同变换法．用合同变换法化二次型为标准形的具体步骤如下:

(2)对A进行初等列变换和同样的初等行变换，把A化为对角矩阵D，同时对E施行与A相同的初等列变换化为矩阵C，此时CTAC=D;

(3)写出非退化线性替换X=CY，化二次型为标准形为f=YTDY．

故化二次型的标准形为f=y21－y22，所作的非退化线性替换为

1．3 正交变换法

如果想借助实对称阵及特征值与特征向量的理论来研究二次型的化简，就用正交变换法．正交变换法算法科学，有序，稳定．其最大的优点是某个问题经正交变换化为标准形后，其几何图形保持不变．用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤如下:

(1)写出实二次型f的矩阵A;

对于特征值2，解齐次线性方程组 (2 E－A)X=0，得线性无关的特征向量为:

正交化:

单位化:

令X=TY，其中

2 对化简方法的认识

2．1 应用配方法时不能盲目配方

这里的配方法有别于中学的配方法，它必须依据一定的条件进行配方，学生初学时难免产生一些错误，教师应借此引入正确方法［2］．

错解

令

此题的错误是发生在第1步没有找到含x1的所有项进行配方(即:如果f中含有x21项和x1项，那么要找到含x1的所有项进行配方)，更深层次的错误是所作的替换不是非退化线性替换．

正确的解法是:

令

即通过作非退化线性替换

令

此题的错误发生在第2步，已按x1配完方，试图按x2配方，但x2没有平方项且x3也没有平方项，只有x2x3项，所以此时应该按情形2配方．

2．2 应用合同变换法时应灵活进行

利用合同变换法化二次型为标准形时，通常先利用a11(当然a11≠0)，把a12，a13等化为0，然后再把a21，a31等化为0．做题时，还可以不拘一格，灵活处理．

解

得标准形为f=y21+y22+y23．

所作非退化线性替换为

2．3 应用正交变换法时应头脑清醒

例如，例3还可以这么做:

对于特征值2，解齐次线性方程组 2E－A( )X=0，得线性无关的特征向量为:

正交化:

单位化:

令X=TY，其中

另解:经X=TY，其中

3 对教材的处理

教材中没有介绍二次型化简的应用，笔者认为在教学的适当时机可以向学生渗透二次型化简的应用，这样可以使学生对二次型这个内容有一个完整的认识，有利于激发学生的学习热情，有利于提高学生解决问题的能力，最终达到学以致用的目的．

例7 判断下列多项式在R上能否分解?若能，分解之．

解 (依据定理:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充要条件是，它的秩等于2和符号差等于0，或者它的秩等于1)

［1］王萼芳，石生明．高等代数［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］林婷．师生有效互动 打造精彩课堂［J］．数学教学研究，2012(8):12－15．