微积分中“以直代曲”思想及其应用探析

童琳

摘 要 任何学科都有其自身的规律和特点。微积分在解决问题时的思想和方法有其独特之处。蕴涵着丰富“转化”的数学内涵，其中“以直代曲”的方法是微积分的重要思想，也是一种重要的处理问题的方法。本文着重分析“以直代曲”思想的特点及所蕴含的辩证因素，说明它在解决问题方面的优势，并联系实际说明在运用中，应充分地把握好这一思想。

关键词 “以直代曲” 数学应用 微积分

中图分类号：O172文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.027

"Replace Curve by Straight Line" Thought and its Application in Calculus

TONG Lin

（College of Education Sciences， Chengdu University， Chengdu， Sichuan 610106）

Abstract Any discipline has its own rules and characteristics. Calculus in ideas and methods to solve problems has its own uniqueness. Contains a wealth of "transformation" of mathematics content， including "straight on behalf song" approach is an important ideological calculus， is also an important way to deal with the problem. This paper analyzes the characteristics of the "straight on behalf song" Thought and dialectical factors inherent， that it advantage in problem solving， and practical instructions in the use of contact should fully grasp the idea.

Key words "Replace curve by straight line"; mathematics application; Calculus

0 前言

直与曲本来是一对矛盾，但在一定的条件下可以转化。在微积分中直与曲充分体现了辩证法的对立统一的思想。通过微积分的学习，可以让学生充分体会感悟“以直代曲”的思想。而这也是处理许多实际问题的基础。例如，它是进行近似计算的基础。对这一思想方法的把握是进行有效运用的前提。也使得一些复杂的计算在误差要求的范围内变得简单可行。

1概念的界定

中國古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长。刘徽通过此推导出了求圆的周长的公式。这是最早出现的“以直代曲”的例子。“以直代曲”思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段。从而可以利用直线的某些性质来研究曲线的某些性质。这样将问题转化为已知问题来解决，进而简化计算量和使思维更加简单。①

2“以直代曲”思想中所蕴含的辩证因素

2.1 初等数学中矩形法解题回顾

下面我们来看一下在初等数学中几何法解题的矩形法。如果有两个量的积刚好等于另一个量。例如，在匀速直线运动中，路程等于速度与时间的积。对比矩形的面积求法，矩形的面积等于长与宽的积。因此，若以矩形长表示时间，宽表示速度，则矩形的面积就刚好可以表示成路程。类似地，在工程问题中，工作总量等于工作效率与工作时间的积。因而工作总量也可用矩形的面积来表示。

推广到一般，我们知道两个量之间的关系若能抽象出函数关系，并能作出其函数图象（有些函数不能用图像表示）。则其函数曲线与轴所围成的曲边梯形的面积往往可以表征很多有实际意义的量。这可以理解定积分的概念为什么一开始要从求曲边梯形的面积引入。也使得求曲边梯形的面积有了更一般的意义。

2.2 定积分中求曲边梯形的面积

在定积分的概念中，求曲边梯形的面积。具体来说是由“分割、代替、求和、取极限”这四个步骤来完成的。

分割，首先将定义区间进行任意分割为个有限的子区间，相应地将曲边梯形细分成个小曲边梯形（如图1）。

代替、求和，在上面基础上，再将每个子区间长度乘该子区间上某点的函数值，即将每个小曲边梯形的曲边看作直边（“以直代曲”），将每个小曲边梯形近似代替成小矩形。并写出其和式。

取极限，通过对和式取极限来求出曲边梯形的面积。

上面过程中，分割的目的是在局部实施“以直代曲”，即以小矩形面积计算代替小曲边梯形面积，并结合“逐次逼近”的方法来进行计算。

2.3 在微积分中，“以直代曲”的思想充分揭示了对立统一关系，以及矛盾在一定条件下可相互转化的辩证思想

在微积分中存在着“直”与“曲”的矛盾，而处理的方式是“以直代曲”（化曲为直）。微积分中“以直代曲”的思想即是，利用微元法进行分割，再在局部实施“以直代曲”，用较规范的图形处理一般非规范性的一般问题来解决。再进行“逐次逼近”处理问题。通过这一过程实现了“直与曲”、“近似与精确”、“有限与无限”的转化。这也说明了矛盾在一定的条件下可以互相转化。

数学的思想方法是学习数学的基础。在一元微积分中，以匀速代变速，反映在几何上就是“以直代曲”，代数上就是用“线性”代替“非线性”。从这里可以看出，中小学中几何解法中的“矩形法”，实际是可以看成是为求定积分学习埋下的伏笔。“曲”与“直”的转化是建立在无限分割的基础之上的。正因为如此，在解决求平面图形的面积、旋转体的体积以及多元函数问题时时我们可以用“微元法”使用“以直代曲”的方法来处理。

3 “以直代曲”思想的运用

3.1函数的线性化

“在数学上最容易处理的函数是线性函数，借助于微分可使一大批非线性函数在局部转化为线性函数，使我们在处理问题时达到简单、方便、高效的目的。”②

在学习了微分以后，当我们从算式= ·+ （ ），得到 ≈。也即实现了函数的线性化，即有≈（） + （）（）。由此得到（） = （） + （）（）。

在几何上，就是用过处的切线上与有相同横坐标的点近似代替曲线上的点。从而可以比较方便地求出在曲线上附近点的函数值。

这给计算一些复杂函数的函数值（在精度要求的范围内）找到了一种简洁算法。这也是高等数学处理问题一种好方法，在局部范围内“以直代曲”，用近似值代替精确值的方法。这样达到一个将问题简化的目的。在这里曲与直的辩证关系得到了充分的体现。同样在学生学习了二元函数的微分以后以切平面上的点近似代替曲面上的点，这也可看成函数线性化问题的拓展。

3.2 求曲边形的面积以及曲柱体的体积

在微积分中这种思想的运用是很多的。定积分的概念、线性化、切平面以及求曲线的长度、圆台侧面积、旋转体体积，以及变力作功等，都直接用到了“以直代曲”的思想。

知道数学的运用并学会运用，是培养大学生的学习兴趣的一个切入点。学生对数学产生了兴趣，才会有数学的更好地应用。实质也是建立数学模型的问题。

例如，运筹学是一门很重要的学科，而其中扮演重要角色的一个就是线性规划。线性规划是运筹学的重要分支，它是一门实用性很强的应用数学学科。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具。③

这也符合直线方程比曲线方程简洁，计算量小。从曲线改画成直线容易的特点。

3.3 求曲线长

在微积分中求曲线的长，解决问题的思路，是在曲线上任意插入N个点，用线段将这些点顺次联结起来，用折线去逼近曲线上的弧段。若当折线段的最大边长→0 时，折线的长度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即 = ∣∣（如图2）。

由上看到，“以直代曲”的思想起了很大的作用，而“以直代曲”这只是近似，而要实现由近似到精确就要用到取极限。

事实上，物理学上我们计算变力作功、液体中的压力、物体的转动惯量等非均匀分布的问题，都用到了“以直代曲”思想来解决问题。

4在数学的应用中感悟“以直代曲”的思想

思考是把知识变化为智慧的催化剂。因而在数学的实践和运用中，可以使这一思想认识更为深刻，反过来促进知识向纵深发展。大学数学学习的一个很重要的作用是要培养学生的应用意识。数学应用能力的培养是数学教育的最高目标。大学数学教学应该让学生看到数学理论知识的运用。并培养学生的主动应用意识。

4.1 注意函数式所表征的实际意义

在数学的应用中经常要求函数的改变量，而往往直接去求計算难度较大。我们设法将 表示成 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。微分就是实现这种线性化的一种数学模型。

例如，在学习了微分以后，学习函数的线性化，就是用过处的切线上与有相同横坐标的点近似代替曲线上的点。

反过来，在我们学习了函数的线性化以后，我们再回过头来看公式= ·+ （ ）

就更能理解为什么把· 称为 线性主部的意思了。这也给求一个函数的近似值提供了理论依据。

4.2 借助几何直观深刻领悟“以直代曲”的思想

例如，对于二元函数的线性化公式，我们可以画出它的切平面来理解其意义。即在数学教学和运用中让学生去感受“以直代曲”的思想，去欣赏数学的简洁之美。并主动去运用这种方法。事实上，在微积分中“以直代曲”的思想还有很多，例如，以匀速代变速等等。有了“以直代曲”思想的学习，也为学生学习“以曲代曲”的思想打下了基础。例如，函数的泰勒公式。即是用一条多项式所表征的曲线去代替另一条曲线。

通过微积分的学习，培养学生形成数学的思维模式。并让数学的内容和方法渗透到应用中去。不断增强学生的数学建模能力。并在通过此感受数学的本质。

注释

① 赵健宝，李娜.“以直代曲”思想来看一类等价无穷小[J].邢台学院学报，2013（6）.

② 张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2003：196.

③ 张干宗.线性规划[M].武汉：武汉大学出版社，2007-03-01.