初中数学教学中如何渗透分类讨论的思想

□江苏省苏州市平江中学校　陆洋

初中数学教学中如何渗透分类讨论的思想

□江苏省苏州市平江中学校陆洋

在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。分类讨论不仅是解决数学问题的一种策略，还是训练学生思维方法、培养其思维能力的重要手段。文章从日常教学出发，对分类的原因、分类讨论的标准、步骤及掌握分类讨论的方法进行了归纳。

初中数学分类讨论专题训练

初三中考复习时，教师们会发现那些具有开放性、探索性较强的试题往往是各地中考的压轴题，而考生往往会失分很多。究其原因，分类讨论思想缺失是一个重要方面。

一、日常渗透，培养学生分类讨论的意识

对于几何类型的分类讨论，在平时课上要训练学生自己画出几何图形，特别是读题画图。只有对图形有很好的感觉，才会对分类讨论有着最直接的帮助。

【例1】如图1，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点P自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时停止运动。设△ABP的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则表示y与x之间函数关系的是。

图1

如图所示，由动点P的运动路径可知，可以分为三个情况：P在AD上，P在DC上，和P在CB上。根据三角形面积公式，只要找出三角形的底和高，就可以把这题做出来。自变量x的取值范围根据边长和动点P的速度，用路程=时间×速度，求出动点P到临界点D和C的所用时间即可。有些学生没有画图的习惯，想来想去一筹莫展，或者漏解，或者自变量取值范围不恰当。动手画图能力强的学生，思路应该是很清晰的，只要按照P的运动轨迹，分类就出来了。要引导学生从起点开始画，还要特别关注各临界状况，因为这是求自变量取值范围的关键。

二、揭示规律，引导学生掌握分类讨论的思想方法

引导学生分析特点、把握规律至关重要。分类通常有以下四个基本步骤：一是确定分类对象；二是根据题目特点合理分类；三是依据分类逐项讨论；四是归纳分类结果得出答案。但要做到正确分类，还必须坚持几个原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，AD在x轴上，点A的坐标（-1，0），点B的坐标（0，2），BC=OB。（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；（2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0），求S 与x的函数关系式。

图2

图I

图II

对于这道题，分类的关键就是如何根据EF的位置不同或者说根据重合部分的形状不同而确定出不同的图形。因此，要鼓励学生在原图的基础上，从起点出发，画出运动后不同类型的图形，确定出导致分类的关键因素，再经过分析完善分类，如图I、II所示，最后进行计算。

三、专题训练，培养学生解决综合问题的能力

初中数学中的分类讨论思想无处不在，一般地，分类情况可分为：（1）数学概念的内涵需要分类讨论；（2）问题中的条件需要分类讨论；（3）问题中的变量需要分类讨论；（4）形状、位置的变化需要分类讨论。面对诸多的类型，教学时如果能进行专题训练，这样学生就会掌握不同类型的分类，将会大大提高他们解决综合问题的能力。

（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；

（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。

首先指导学生根据△AEF是等腰三角形，将本题分为EF=AF、EF=AE或AF=AE三种情况；再引导学生发现本题中的一些特殊角，如∠OAB=45°、∠DEF=45°等，然后根据这些关键的要素画出正确的示意图，从而揭示出三种情形下图形的本质，面积也就迎刃而解了。

在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，这才是数学教学追寻的最终目的。