一类广义Douglas-Weyl度量的特征

程新跃，史瑞东

（重庆理工大学数学与统计学院，重庆400054）

一类广义Douglas-Weyl度量的特征

程新跃，史瑞东

（重庆理工大学数学与统计学院，重庆400054）

研究了一类重要的由黎曼度量α和1-形式β定义的Finsler度量——（α，β）-度量——成为广义Douglas-Weyl度量的条件。在度量具有迷向S-曲率的条件下，给出了非Randers型的正则（α，β）-度量是广义Douglas-Weyl度量的条件。

Finsler度量；（α，β）-度量；广义Douglas-Weyl度量；S-曲率

Finsler射影几何是Finsler几何的重要组成部分，有若干几何量在Finsler度量的射影变换下保持不变，称之为射影不变量，如著名的Douglas曲率和Weyl曲率。Douglas曲率是由Berwald曲率刻画的Finsler几何中的几何量，Douglas曲率张量为零的Finsler度量称为Douglas度量。Weyl曲率是由黎曼曲率张量刻画的几何量，Weyl曲率张量为零的Finsler度量称为Weyl度量。Finsler几何中还有一类重要的由Douglas曲率关于Berwald联络的水平共变导数刻画的度量——广义Douglas-Weyl度量，即满足方程的Finsler度量，其中是关于Berwald联络的水平共变导数，Tjkl是一个3阶张量。显然Douglas度量必然是广义Douglas-Weyl度量。众所周知，Weyl度量即是具有数量旗曲率的Finsler度量，一个令人惊讶的事实是Weyl度量一定是广义Douglas-Weyl度量［1］。因此，可以把Douglas度量和Weyl度量看作两类特殊的广义Douglas-Weyl度量。

（α，β）-度量是一类重要的且在其他学科中具有广泛应用的Finsler度量。此外，由于其具有良好的可计算性，可以帮助深入地了解Finsler度量的某些曲率性质，因此，在刻画广义Douglas-Weyl度量时自然地先考虑广义Douglas-Weyl（α，β）-度量，甚至某些特殊的（α，β）-度量，如Randers度量，平方度量等。

S-曲率是沈忠民教授在研究Finsler流形的体积比较时引入的，是Finsler几何中一类重要的非黎曼几何量。若Finsler度量F的S-曲率满足S=（n+1）c（x）F，其中c=c（x）是流形上的数量函数，则称F具有迷向S-曲率。如果c为常数，则称F具有常数S-曲率。具有迷向S-曲率的Finsler度量是一类具有重要几何性质且值得深入研究的度量。文献［2］刻画分类了具有迷向S-曲率的（α，β）-度量；文献［3］进一步刻画了具有迷向S-曲率的正则（α，β）-度量，证明了此时度量的S-曲率必为零，且β是具有常数长度的Killing 1-形式。

关于广义Douglas-Weyl度量的刻画及研究已经有若干优秀的结果：沈忠民等［4］首先刻画了广义的Douglas-Weyl Randers度量；TAYEBI等［5］研究了广义的Douglas-Weyl Landsberg度量，即Landsberg曲率Lijk为0且Douglas曲率满足方程=的Finsler度量，证明了一个广义Douglas-Weyl Landsberg度量的H曲率必定为零。

本文刻画了具有迷向S-曲率的正则（α，β）-度量成为广义Douglas-Weyl度量的条件，得到定理1。

定理1对于n维光滑流形M上的一个非Randers型的正则（α，β）-度量F=αφ（β/α），若它具有迷向的S-曲率，则F是一个广义Douglas-Weyl度量，当且仅当下式成立：

其中：

其中Qα，Qβ，Qαα，Qαβ，Qααβ等分别表示Q关于α，β的偏导数。

1　预备知识

设（M，F）是n维Finsler空间，则在局部坐标系（x，y）下度量F诱导了一个带孔切从上的射流G：

对任意的y∈TpM｛0｝，黎曼曲率Ry=Rikdx是切空间上的一族线性变换，其中

取黎曼曲率张量Ry的迹Ric∶=Rkk，称为Finsler度量的Ricci曲率。

Finsler度量F的Weyl曲率张量由定义为

Finsler度量的Berwald曲率张量Bijkl由下式给定

Berwald曲率张量为零的度量称为Berwald度量，Bijkl=0的Finsler度量称为Berwald度量。

Finsler度量F的Douglas曲率张量由下式给出

其中

Douglas曲率张量为零的Finsler度量称为Douglas度量，显然一个Berwald度量必定是Douglas度量，因而Douglas度量可以看作广义的Berwald度量。Douglas曲率张量是一类重要的射影不变量。

对于n维流形M上的Finsler度量F和Busemann-Hausdorff体积形式dVF=σ（x）dx1…dxn，S-曲率定义为

其中

若存在流形上的数量函数c=c（x）使得S=（n+1）c（x）F，则称F称为具有迷向S-曲率。由于Berwald度量的S-曲率为零，因此具有零S-曲率的Finsler度量可看作广义的Berwald度量。

给定（α，β）-度量F=αφ（β/α），F的测地系数由如下公式确定［6］：

其中

进一步，为了计算的方便，令

这里“|”表示关于α的水平共变导数。文献［2］研究和刻画了（α，β）-度量的S-曲率，并得到了以下公式：

2　对定理1的证明

为定理1的证明需要，引入以下重要引理。

引理1［3］对于n维光滑流形M上的一个非Randers型的正则（α，β）-度量F，它具有迷向的S-曲率，当且仅当β满足：rij=0，sj=0，此时，S=0，而且与φ的选择无关。

根据引理1，可以刻画具有迷向S-曲率的正则（α，β）-度量成为广义Douglas-Weyl度量的条件，即进行定理1的证明。

证明由引理1知，对于具有迷向S-曲率的非Randers型的正则（α，β）-度量F，rij=0，sj=0。因此F的测地系数Gi满足如下关系：

令Πi

注意到

则

由于¯Πi关于y是二次的，因此

其中：

令“；”表示关于Berwald联络的水平共变导数，“|”表示关于α的共变导数。则由式（2）可得

由式（6），（7）可得

若F是一个广义Douglas-Weyl度量，则存在一个3阶张量Tjkl使得，即

用yi缩并式（9）的两端，可得：

其中：

将Tjkl代入到式（9）中，对式（9）两端用akl缩并，可得：

借助Maple软件化简整理便得式（1），完成了对定理1的证明。

定理1对进一步地在其他重要曲率条件下刻画广义Douglas-Weyl（α，β）-度量具有重要意义，为研究一般的广义Douglas-Weyl度量提供了重要的启示。

［1］SAKAGUCHI T.On Finsler spaces of scalar curvature［J］.Tensor N S，1982，38：211-219.

［2］CHENG Xin-yue，SHEN Zhong-min.A class of Finsler metrics with isotropic S-curvature［J］.Isr J Math，2009，169（1）：317 -340.

［3］CHENG Xin-yue.The metrics of scalar flag curvature［J］.Diff Geom Appl，2014，35：361-369.

［4］NAJAFI B，SHEN Zhong-min，TAYEBI A.On a projective class of Finsler metrics［J］.Publ Math Debrceen，2007，70：211 -219.

［5］TAYEBI A，SADEGHI H，PEYGHAM E.On generalized Douglas-Weyl spaces［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2013，36（3）：587 -594.

［6］BáCSó S，CHENG Xin-yue，SHEN Zhong-min.Curvature properties of（α，β）-metrics，In“Finsler Geometry”［C］//Sapporo 2005-In memory of M.Matsumoto，ed.S.Sabau and H.Shimada，Adv.Studies in Pure Math.48，Math.Soc.Japan：［s.n.］，2007：73-110.

（责任编辑何杰玲）

A Characterization of a Class of Generalized Douglas-Weyl Metrics

CHENG Xin-yue，SHI Rui-dong
（School of Mathematics and Statistics，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

In this paper，we study the conditions that an important class of Finsler metrics defined by a Riemann metric αand an 1-formβbecome generalized Douglas-Weyl metrics.Under the condition that the metric is of isotropic S-curvature，we obtain the conditions that a regular（α，β）-metric of non-Randers type is a generalized Douglas-Weyl metric.

Finsler metric；（α，β）-metric；generalized Douglas-Weyl metric；S-curvature

O186

A

1674-8425（2015）04-0113-07

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.022

2015-01-09

国家自然科学基金资助项目（11371386）；欧盟FP7（SEVENTH FRAMEWORK PROGRAMME）资助项目（PIRSES GA-2012-317721）

程新跃（1958—），男，重庆人，教授，博士生导师，主要从事微分几何及应用研究。

程新跃，史瑞东.一类广义Douglas-Weyl度量的特征［J］.重庆理工大学学报：自然科学版，2015（4）：113 -119.

format：CHENG Xin-yue，SHI Rui-dong.A Characterization of a Class of Generalized Douglas-Weyl Metrics［J］. Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：113-119.