完备度量空间上不动点定理的推广及应用

徐龙华

（安康学院数学与统计系，陕西安康725000）

完备度量空间上不动点定理的推广及应用

徐龙华

（安康学院数学与统计系，陕西安康725000）

Banach在1922年证明了完备度量空间上压缩映射不动点的存在性。通过对Banach不动点定理条件的研究，给出了Banach压缩映像原理的推广，并提出Banach不动点定理在存在唯一性方面的应用。

完备度量空间；压缩映射；不动点

把一些方程的求解问题转化为求映射的不动点，以及用逐次逼近法来求不动点，这是代数方程、微分方程、积分方程、泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法。这个方法起源很早，一直可以追溯到牛顿求代数方程根时所用的切线法，后来Picard用逐次逼近法求解常微分方程。求不动点的问题本质上是算子方程Tx=x的求解问题。不动点存在唯一性的判定定理一般是基于Banach不动点定理［1-3］。1922年Banach把这个方法的基本点提炼出来，用度量空间以及其中的压缩算子的一些概念更一般地描述了这个方法［4］。这种利用泛函分析来研究方程的解的近似方法以及关于算子的不动点的存在性的研究，自Banach以后又取得了不少重要进展［5-8］，甚至成为非线性泛函分析的主要内容。压缩映像原理是一个非常重要、应用最广的存在性定理［9-10］，它是数学分析中许多存在性定理的一种推广。本文中对应用较广的Banach不动点定理做了进一步的推广，表明不动点原理远不止用于解通常的方程，还有许多其他应用，如隐函数存在性定理等。

1　压缩影像原理

定义1设T：（X，ρ）→（X，ρ）是一个压缩映射，如果存在0＜α＜1，使得

定理1Banach不动点定理-压缩映像原理

设（X，ρ）是一个完备的度量空间，T是（X，ρ）到其自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。

证明T是（X，ρ）→（X，ρ）的一个压缩映射，既存在0＜α＜1，使得

任取初始点x0∈X，由迭代产生的序列为：

从而对∀p∈N，

即x*为T的一个不动点。下面证x*是T的唯一的不动点。如果x*，x＊＊都是T的不动点，则α＜1），所以x*=x＊＊。故T在X上存在唯一的不动点。

2　Banach不动点定理一个推广

定理2设（X，ρ）是一个完备的度量空间，T是X到X的一个映射，如果存在自然数n使得Tn是X上的一个压缩映射，那么映射T在X上必有唯一的不动点。

证明根据Banach不动点定理，∃x0使得Tnx0=x0，则有

可知Tx0也是Tn的不动点，又压缩映射Tn的不动点的唯一性可知必有Tx0=x0，这就证明了T有不动点。下面证T的不动点是唯一的。假设x1是T的任一不动点，由于Tx1=x1，则

因此x1也是Tn的不动点，又由于Tn的不动点只有一个，所以x1=x0，也就是说T的不动点是唯一的。当n=1时，定理2就是定理1 Banach不动点定理一个推广。

3　Banach不动点定理的应用

3.1数学分析中存在性定理

设X=［0，1］是完备的的度量空间，T（x）是［0，1］上的可微函数，满足条件：

则T在X上存在唯一的不动点。

3.2常微分方程的初值问题的局部存在唯一性

分析讨论下列常微分方程的初值问题：

即求连续函数x（t）满足下列积分方程的问题：也可以看作是一个不动点问题。为此，在以t=0为中心的某区间［-h，h］上考察度量空间C［-h，h］，并引入映射

则式（11）等价于求C［-h，h］上的一点x，使得x=Tx，即求T的不动点。

证明首先分析在C［-h，h］上，式（12）定义的映射T：

假设二元函数F（s，x）对变元x关于s满足局部Lipschitz条件：∃δ＞0，M＞0，使得当

其中：

在这里不能直接取C［-h，h］为定理中的度量空间X，因为当Mh=α＜1时，T只是C［-h，h］的子集（ξ，δ）上的压缩映射取X=B（ξ，δ），为了使T：X→X，再设

取h＞0足够小，使

由于（C［-h，h］，ρ）是一个完备的度量空间，而X是它的一个闭子集，所以（X，ρ）也是一个完备的度量空间。设函数F（t，x）在［-h，h］×［ξ-δ，ξ+ δ］上定义并满足条件：∃δ＞0，M＞0，使得

3.3隐函数存在定理

设f：Rn×Rm→Rm，U×V⊂Rn×Rm是（x0，y0）的一个领域。设f及在U×V上连续，且f（x，y）=0，det|≠0，则∃（x，y）的一00（x0，y0）00个临域U0×V0⊂U×V以及唯一的连续函数φ：U0→V0，满足

此证明见文献［5］。

3.4压缩影像原理在积分方程中的应用

对于积分方程

其中y（t）∈C［0，1］为一给定函数，λ为常数，-1＜λ＜1，求证：积分方程（17）有唯一解。

定义映射T：z（t）·ξ（t）+λ∫10z（s）ds，则

所以T是压缩映射，压缩常数为|λ|＜1，C［0，1］为完备的度量空间，由压缩不动点定理可知，T由唯一的不动点，即积分方程在C［0，1］有唯一解，从而原方程在C［0，1］上由唯一解。

4　结束语

Banach不动点定理是一个非常重要、应用最广的存在性定理，本文对Banach不动点定理做了进一步的推广，推广的定理适用范围更广、应用更方便。最后深入分析了不动点原理在微分方程、积分方程、隐函数存在性定理方面的应用。

［1］Fisher B.A fixed point theorem for compact metric spaces［J］.Publ Math Debrecen，1978，25：193-194.

［2］朱顺荣.完备度量空间与紧空间上的不动点定理［J］.南京理工大学学报，1998，23（4）：365-369.

［3］干晓蓉.用压缩映射原理证明较弱条件下的隐函数存在定理［J］.云南师范大学学报：自然科学版，2007，27（5）：14-16.

［4］夏道行，吴卓人，严绍宗，等.实变函数论与泛函分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：68-70.

［5］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义［M］.北京：北京大学出版社，1987：1-7.

［6］施明辉，江敏，晁飞，等.一种改进的不动点存在唯一性定理［J］.厦门大学学报：自然科学版.2014，53（3）310-312.

［7］江正华.Banach不动点定理的一个推广［J］.南京大学学报：自然科学版，2014，50（1）：9-13.

［8］何瑞强.Banach不动点定理的应用［J］.吉林师范大学学报：自然科学版，2012，33（2）：61-62.

［9］谭长明，龙丽.不动点定理在方程解方面的应用［J］.吉林师范大学学报：自然科学版，2007，28（1）：84-86.

［10］李晗.压缩映射的构造及Banach不动点定理的应用［J］.沈阳师范大学学报：自然科学版，2013，31（2）：249-251.

（责任编辑何杰玲）

Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space

XU Long-hua
（Department of Mathematics and Statistics，Ankang University，Ankang 725000，China）

Banach proved that the fixed point of contraction mapping existed on the complete metric space in 1922.Based on the Banach fixed point theorem condition research，the paper provided the generalization of Banach contraction mapping principle and put forward the existence uniqueness of the Banach fixed point theorem in application areas.

complete metric space；contraction mapping；fixed point

O177.5

A

1674-8425（2015）04-0143-04

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.029

2014-09-25

国家自然科学基金资助项目（61152003）；国家社科基金资助项目（13XJY026）；安康学院教学改革资助项目（Jg05224）；安康学院校级科研项目（2013AYPYZR03）

徐龙华（1980—），男，山东巨野人，硕士，讲师，主要从事算子代数学研究。

徐龙华.完备度量空间上不动点定理的推广及应用［J］.重庆理工大学学报：自然科学版，2015（4）：143 -146.

format：XU Long-hua.Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：143-146.