利用GeoGebra寻找有界磁场中的临界情况

杨培军 张兴华 王鹏

摘   要：对于有界磁场中的临界情况，通常利用放缩法和旋转法来寻找。但是，这两种方法都牵涉到轨迹圆的动态变化过程，部分学生由于空间想象力和画图能力不足，无法找到临界情况。因此，本文利用软件GeoGebra动态显示轨迹圆的变化过程，并引导学生利用身边的物品展现动态变化，能使学生很容易发现临界情况，并有助于培养学生的空间想象能力。

关键词：有界磁场;临界情况;放缩法;旋转法;GeoGebra;空间想象能力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）9-0054-4

1    问题的提出

带电粒子在有界磁场中的运动，由于条件的不确定，造成结果的复杂性，但常常存在临界情况，怎样才能找到临界情景，就成了这类问题的难点。通常是利用放缩法和旋转法来寻找，但是这两种方法都牵涉到轨迹圆的动态变化过程。部分学生由于空间想象能力和画图能力不足，无法找到临界情况。为此，本文利用软件GeoGebra动态显示轨迹圆的变化过程，并引导学生利用身边的物品展现动态变化，体会并逐步形成合理的空间情景，进而能有效地解决这一难题，现通过两个例题来说明。

2    放缩法

2.1    题目展示

例1  如图1所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30 °的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）

A.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

B.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是

C.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间是

D. 若该带电粒子从ad边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是

此题的关键在于带电粒子以与Od成30 °的方向入射，何时会出现临界情况。我们通过动画来寻找。

2.2    动画制作

部分效果图如图2、图3。使用时拖动滑竿或启动动画，学生很容易发现临界情况。

2.3    学生实物操作

老师发给每组（两人一组）有弹性的橡胶绳一段，让同学们先在草稿纸上画上一个稍大的正方形磁场区域，沿粒子入射方向摆放橡胶绳一端，用胶布粘在纸上，并用笔画出与粒子入射方向垂直的一条线，表示轨迹圆的圆心所在直线，不断地放大（或缩小）橡胶绳所围成的圆，观察在变化中与各边相切时的临界情况，进一步找出问题的答案。操作实物图如下：

2.4     放缩法的应用规律

该方法适用于速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹随速度的变化而变化，运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线上。具体处理时，以入射点为定点，圆心在垂直速度方向的直线上，将半径不断地放大（或缩小），从而探索出临界条件，找到解决问题的入口。

3    旋转法

3.1    题目展示

例2  如图6所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P为磁场边界上的一点。相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。若将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互影响，则等于（    ）

A.    B.   C.  D.

3.2    动画制作

效果图如图7—图9。使用时先拖动滑竿v，让轨迹圆半径比磁场圆大，选中E点，开启跟踪，然后拖动滑竿α或启动动画，旋转轨迹圆，粗线表示E点运动轨迹，让学生观察。然后改变轨迹圆半径继续观察，依次是轨迹圆半径大于磁场圆、等于磁场圆、小于磁场圆等三种情况。学生很容易发现只有轨迹圆半径小于磁场圆时才符合题意，并发现当磁场圆的弦是轨迹圆的直径时出现临界情况。

3.3    学生实物操作

学生利用老师发放的橡胶绳，用透明胶带粘成一个圆，让圆上的一点与磁场的P点重合，并按照题意旋转这个圆，代表粒子向不同方向射出，观察这个圆与磁场圆交点的轨迹。每组学生做成三种圆，分别是轨迹圆半径大于磁场圆、等于磁场圆、小于磁场圆，找出符合题意的情景，部分操作实物图如下：

3.4    旋转法的应用规律

该方法适用于粒子源发射速度大小一定、方向不定的带电粒子在进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，且轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径r'=的圆上，这个圆可以称为轨迹圆心圆。根据粒子发射速度方向的变化，从而旋转轨迹圆，找出临界情况。

4    总  结

随着信息技术的发展，诸如 GeoGebra之类的软件在物理教学中应用越来越广泛。GeoGebra 是一个动态数学软件，功能强大、使用简单、交互性强，让师生以趣味的方式真正观察和体验数学和科学。物理抽象又难理解，学生的空间想象能力还不强，在物理教学中利用这些软件功能，能很好地帮助学生对抽象的情景有形象化的理解，并指导学生用身边的物品来模拟演示，逐步培养学生的空间想象能力，激发学生学习物理的热情。同时，在课堂上改进教学手段，可以改变学生的学习方式，进而促进学生自主学习。

参考文献：

[1]彭俊昌. 巧用“动态圆”处理带电粒子在磁场中的运动问题[J].物理教学探讨，2007，25（11）：35.

（栏目编辑    王柏庐）