分式方程“增根”之刍议

“增根”是在分式方程解答过程中时常出现的问题.在近期的阅读过程中发现，针对有关分式“增根”的数学问题，出现了不少争议.这些争议直接反映出的是时常出现的涉及“增根”的有误数学问题，而背后则反映出了一些教师在分式方程“增根”理解上的模糊、片面，甚至错误.笔者对出现的问题进行了一些梳理，并根据现有的资料，对分式方程“增根”概念的内涵进行了细致的分析，且以此对中学阶段关于分式方程增根的教材编排提出了个人看法.现将思考所得呈现于此，与大家交流.

1 对“增根”理解上的问题

笔者查阅了一些文献资料，对于“增根”的理解，存在以下几方面的错误认识：

（1）使分母为零的值为增根.

如习题：①[1]方程x（x+1）x-1=0的增根是（ ）.

（2）分式方程会产生增根.如习题：①，题意已确认其必有增根；③m为何值时，方程x+1x-2-mx-2=2有增根？去分母，得x+1-m=2x-4，当x=2时，m=3.所以当m=3时，原分式方程有增根[3].也就是说，题解是在x=2一定是方程增根的前提下进行的，且分式方程x+1x-2-3x-2=2一定有增根.

（3）不同的非同解变形产生不同的增根.我们知道，在解分式方程时，通过去分母，把分式方程转化为整式方程，以整式方程的解来求得原分式方程的解.但由于这一转化可能为非同解变形，所以分式方程就可能产生增根.准确地说，是因为去分母的缘故，使得分式方程可能产生增根.罗峻在解答分式方程④6（x+1）（x-1）-3x-1=1时，对方程采用了三种不同的变形即三种不同的去分母方式，得到了三种不同的增根.解答1：将方程两边同时乘以（x+1）（x-1），原方程有一个增根x=1；解答2：将方程两边同时乘以（x2-1）（x+1），得到原方程有两个增根x=±1；解答3：将方程的两边同时乘以x（x2-1）（x+1），得到原方程有三个增根x=0、±1[4].

2 “增根”概念包含的三个基本条件

对以上问题的分析，我们需要从概念入手.受能力局限，笔者查阅了很多资料，关于“增根”未曾获得一个较为权威的、严格的定义.这里不妨以北师大版初中数学教材（2002年版，八年级下册，P80～81）为例.

教材在利用去分母求解分式方程⑤1-xx-2=12-x-2之后，对“增根”作了如下描述：“在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.”

笔者对这段关于“增根”的描述作如下理解：1、x=2是原分式方程变形后的整式方程的解；2、x=2使得原分式方程的分母为零；3、“在这里”意指对方程⑤进行了两边同乘整式x-2的变形，这时的x-2是原分式方程⑤的最简公分母，而不是其它的公分母，其“最简”是数学简洁性的特点要求.综上可见，分式方程“增根”的概念包含了三个基本条件：1、在解法上，采取的是通过“去分母”（分式方程两边同乘“最简公分母”）把分式方程转化为整式方程求解的方法（不妨简称为“去分母”法）；2、“增根”是变形后整式方程的解；3、“增根”使得原分式方程的分母为零.

3 关于“增根”问题的两个结论

根据以上对“增根”的分析，容易判断“使分母为零的值为增根”的理解是错误的.“增根”首先是变形后的整式方程的解，如果不是整式方程的解，也就谈不上原方程的“增根”.同时，我们还能得到以下两个重要结论：

3.1 “增根”是分式方程“去分母”解法的产物

“增根”的产生与分式方程的解法有关，与方程本身无关.笔者曾撰文认为“无论是分式方程，还是其它形式的方程，方程自身是不可能产生增根的”、“方程有没有解、有怎样的解是由方程自身决定的，与我们有没有求解无关，与怎样求解无关”、“分式方程求解的过程中之所以可能产生增根，与我们求解的方式有关”[5].

其实，对于分式方程而言，如果我们采取“通分、移项、合并”的方法是不会产生增根的.如方程⑤可作如下解答：1-xx-2=-1x-2-2（x-2）x-2，1-xx-2+1x-2+2（x-2）x-2=0，x-2x-2=0，得出该方程无解（x=2不是原方程的解）.

之所以人们把分式方程与“增根”联系起来，是因为我们默认了“去分母”是分式方程最为便捷的解法，因而为人们一贯采用，以致被一些教师片面地认为这是分式方程的唯一解法.需要注意的是，我们在理解“增根”的概念时，切不可忽略“去分母”解法这基本前提，而这也正是被很多教师所忽略的.“‘增根是由于选择了‘去分母这样一个不能确保同解变形的方法而产生的‘副产品，而不是方程自身的‘副产品！严格地讲，称之为‘原方程的增根是不贴切的，叫做‘去分母法的增根才准确恰当”[6].

关于分式方程的“增根”问题，笔者认为有两种处理方式：1）根据上述分式方程“增根”所包含的三个基本条件，给分式方程的“增根”作类似如下明确的定义：“在方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程时，如果该整式方程的解使得原方程的分母为零，那么我们称之为原方程的增根.”这样，我们说“原方程的增根”便有了充足的理由，因为尽管“增根”并非分式方程的固有属性，但给其作这样一个定义，亦未尝不可.2）回避“增根”问题.人教社2004年版教材（八年级下册）在分式方程内容的安排上即采取了这种处理策略.教材在介绍了分式方程解答的全部过程后，作了如下归纳：“一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.”

笔者以为，人教版教材的处理比较恰当.一方面，在教材未对“增根”概念作明确定义的前提下提出、使用“增根”，容易产生片面的，甚至是错误的理解，并在数学学习中出现诸多有争议的，甚至是错误的问题.在中学阶段，只需能够检验出变形后的整式方程的解是否是原分式方程的根即可，无需涉及较为模糊的“增根”概念.另一方面，即便对分式方程的“增根”给出了严格的定义，那么无理方程以及其它方程的“增根”亦需定义，况且类似概念的定义对于中学阶段的数学学习有多大意义，笔者实难判断.

3.2 去分母时，方程两边所乘整式应为“最简”公分母

用“去分母”法求解分式方程时，我们在方程两边同乘一个整式，将分式方程转化为整式方程.因为这样的转变有可能是非同解变形，那么就有可能产生增根.但值得注意的是，方程两边同乘的这个整式是不是一定为最简公分母？如果如罗峻在解方程④时那样，方程两边分别同乘了（x+1）（x-1）、（x2-1）（x+1）、x（x2-1）（x+1），能否认为原分式方程有三种不同的增根？笔者根据自己对“增根”的理解，认为在中学阶段求解分式方程的解法已基本统一的前提下，方程两边同乘的整式应该是最简公分母.一方面，数学讲究简洁，繁琐的解答过程不利于分式方程的求解；另一方面，若按罗峻的做法——方程两边同乘的只是公分母，而非最简公分母，即会出现除根之外的任何一个数都可以成为原方程的增根，这既对解题无益，亦对“增根”问题的研究无益.

参考文献

[1][3] 孟祥静.分式方程增根问题的讨论[J].数学学习与研究：教研版，2008（3）：1.

[2] 杨波.由一道分式方程题引起对增根的思考[J].中学教与学，2009（7）：29

[4] 罗峻.中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论[J].中学数学（初中版），2013（5）：34-35

[5] 黄良春.分式方程增根之我见[J].中小学数学（初中），2014（9）：14-16

[6] 武海娟.不会产生增根的分式方程解法——兼谈关于分式方程增根的辩论[J].中小学数学（初中），2015（3）：19-20

作者简介 黄良春，男，1963年1月生，江苏扬中人，高级讲师.