基于复合映射法及B样条的翼型参数化方法

张珅榕，蔡卫军，杨春武，崔鑫山

（1. 中国船舶重工集团公司 第705研究所， 陕西 西安， 710075； 2. 水下信息与控制重点实验室， 陕西 西安，710075）

基于复合映射法及B样条的翼型参数化方法

张珅榕1，2，蔡卫军1，杨春武1，崔鑫山1，2

（1. 中国船舶重工集团公司 第705研究所， 陕西 西安， 710075； 2. 水下信息与控制重点实验室， 陕西 西安，710075）

为提高翼型气动优化设计的计算效率， 可通过限制几何设计变量个数的方法来实现。为保证设计可行性，提出了一种对B样条拟合形状函数进行复合映射以获得实用翼型的参数化方法。以几类低速翼型为例， 研究了该参数化方法的收敛性， 可以看出， 拟合翼型与原始翼型的型线逼近度高， 气动特性吻合度高。初步分析了形状函数控制点分布对翼型几何特征的影响， 实现了型线的局部控制。研究结果表明， 该方法能实现已知翼型的参数化表达以及局部修型， 可应用于翼型优化。

翼型设计； 参数化方法； B样条； 复合映射； 收敛性

0　引言

翼型影响着飞行器所有飞行阶段的空气动力效率， 翼型选择与设计是进行飞行器设计前必须进行的一项重要工作［1］。不少飞行器已不全采用已有翼型， 而以合适的翼型为基础翼型， 通过气动优化方法， 获得满足性能要求的专用翼型。在气动优化过程中， 翼型参数化方法对优化算法的选取、计算效率、翼型设计空间范围等方面有重要影响［2］。

目前常用的翼型参数化方法包括型函数线性扰动法、特征参数描述法、正交基函数法、CST（“shape function/class function”transformation）方法、样条参数化法以及复合映射法等［2-3］。其中，基于保角变换原理的复合映射法具有物理意义明确、设计空间覆盖广、几何收敛性及气动收敛性好等特点， 已应用于风力机翼型设计。复合映射法的相关研究［3］中， 通常采用简单高阶多项式对翼型形状函数进行表达。在气动优化过程中， 作为设计变量的高阶多项式系数范围不易确定， 作为约束条件的形状函数控制方程难以满足。

针对上述问题， 文章提出一种基于B样条曲线及复合映射法的翼型参数化方法。以常用低速翼型为研究对象， 对拟合翼型进行几何收敛性、气动收敛性分析； 初步分析了形状函数控制点分布对翼型几何特征的影响。

1　翼型参数化方法

1.1复合映射法

采用保角映射方法， 希望给定变换函数ζ=f（ z）将z平面中一个圆变换到ζ平面中一个头圆尾尖、具有弯度、符合航空要求的翼型， 取变换函数

即茹柯夫斯基变换， 可将z平面中圆心位于点O通过破坏点（a，0）的圆变换到ζ平面一个通过点（c，0）的翼型， 其中a为1/4 弦长， c为1/2弦长。基于茹柯夫斯基变换生成的翼型存在制造困难、稳定性差等缺点， 且严格的坐标关系与实用翼型对应不上， 因而并未获得广泛运用。

西奥道生提出一种计算已有实际翼型的方法［4］，其基本思想： 通过茹柯夫斯基变换式将一个已有翼型变换回去， 可以得到一个近似圆的图形， 即拟圆， 再将拟圆映射为真圆。基于西奥道生方法，使用如下拟圆表达式

式中： θ为幅角； a为1/4弦长； aρ（ θ）为拟圆矢径。将ρ（ θ）命名为形状函数［5］。通过选取不同的形状函数ρ（ θ）结合茹柯夫斯基变换可以获得具有不同几何参数的翼型。

1.2B样条曲线最小二乘拟合

一条k次B样条曲线可以表示为

约定0/0=0。式中k表示B样条的幂次， ti为节点。每一个基函数）是由非递减的节点向量所决定的k次分段多项式。对于开放均匀的B样条曲线， 其节点T为准均匀的， 计算公式为

假定给定N+1个2D数据点di∈R2，i=0，1，2，…，n ， 想找到一条已知曲线C（ u）去逼近给定数据点。假定数据点di∈R2对应的参数值wi，则 B 样条曲线数据拟合方程可以表示为

其中，iε为数据点di的拟合误差。最小二乘法是通过最小化误差的平方和寻求数据的最佳函数匹配。逼近误差iε在平方意义下可以表示为

引进表达式

B样条曲线最小二乘拟合， 即通过反求控制点使得误差平方和f 达到最小， 来无限接近数据点di， 方法详见文献［6］。

若已知翼型坐标参数（x， y）， 即可求解形状函数ρ与幅角θ的关系为［3］式中，。将得到的2D形状函数离散点作为被拟合数据di进行B样条曲线最小二乘拟合； 对拟合形状函数进行茹柯夫斯基变换， 即可获得拟合翼型。因此， 利用反求获得的有限个形状函数控制点可实现翼型参数化表达。

2　参数化方法收敛性检验

在以上研究基础上， 对几类低速翼型进行参数化表达， 并考察参数化方法的几何收敛性和气动收敛性。其中包括应用于滑翔机机翼设计的HQ17/14.38翼型（封闭）， 应用于低速客机的NACA23015翼型（非封闭）， 以及应用于无人机的Clark Y翼型（非封闭）。

2.1几何收敛性

为检验翼型参数化方法的几何收敛性， 将上述翼型进行归一化处理后， 利用3次B样条分别对上下翼面形状函数进行最小二乘拟合。为保证拟合曲线通过形状函数起止点， 采用开放均匀的B样条曲线节点向量分布。由于原始型值点、拟合型值点均为离散点， 故采用豪斯多夫距离衡量两组数据的最大偏差。豪斯多夫距离定义为式中： D为豪斯多夫距离；为点集P第i个点与点集Q第j个点的距离。豪斯多夫距离越小， 两组离散点集的逼近程度越高。

图1　最大相对偏差随控制点个数变化曲线Fig. 1　Curves of maximum relative error versus number of control points

最大相对偏差随控制点个数变化关系如图1所示。可通过改变B样条曲线控制点的数量来改善翼型拟合精度。研究发现， 当控制点个数为20时， 3个拟合翼型均有较好的逼近效果， 其中NACA23015拟合翼型与原始翼型逼近效果最好（见图2）。

2.2气动收敛性

为检验翼型参数化方法的气动收敛性， 以 NACA23015翼型为例， 采用数值求解器Xfoil进行升阻力特性分析， 计算结果如图3所示。从计算结果可以看出， 当攻角较小时， 各拟合翼型升阻力特性与原始翼型吻合度高； 随攻角增加， 升阻力特性偏差增加， 但基本变化趋势一致。通过与试验结果相比较［7］， 在计算攻角范围内， Xfoil能够较准确地预报翼型气动性能。

图2　NACA23015参数化效果Fig. 2　Parameterization results of NACA23015

图3　NACA23015气动收敛性Fig. 3　Aerodynamic convergence property of NACA 23015

经研究可知， 当拟合形状函数与原始形状函数的最大相对偏差在0.3%左右时， 所获得的拟合翼型与原始翼型气动特性差别很小； 而且理论翼型与真实翼型也存在一定差别， 无需进一步提升翼型拟合精度。因而， 可以使用拟合翼型代替原始翼型进行气动优化。

3　翼型几何特征调整

形状函数不同区域影响着翼型不同位置几何特征。图4为形状函数与翼型型线对应关系示意图， 形状函数起点（终点）及起点（终点）附近形状影响翼型尾缘， 中部附近形状影响翼型前缘， 其余位置影响翼型厚度、弯度分布。调整形状函数控制点分布位置可以改变翼型形状函数， 进而改变翼型型线及气动特性。

图4　NACA23015型线及形状函数Fig. 4　Profile of NACA23015 and shape function

3.1前缘修型

以NACA23015翼型为基础， 进行翼型几何特征调整。改变与翼型前缘形状相关的形状函数控制点， 形状函数调整结果如图5（a）所示， 对翼型前缘修型结果如图5（b）所示。并利用Xfoil计算了来流攻角为4°时， 拟合翼型及修型后翼型的表面压力系数分布如图5（c）所示。可以看出， 表面压力系数分布具有光滑连续特性， 侧面说明拟合、修型型线的光滑连续。

3.2厚度修型

改变与翼型厚度分布相关的形状函数控制点如图6（a）所示， 可以实现翼型厚度修型如图6（b）所示。利用Xfoil计算了来流攻角为4°时， 拟合翼型及修型后翼型的表面压力系数分布， 如图6（c）所示。

经研究可知， 参数化方法可以实现翼型局部几何特征调整， 且所获得的型线具有光滑连续性。相较于文献［3］中提出的方法， 文中所提方法中的设计变量取值范围更易确定， 而设计变量取值范围对设计空间的影响还有待于进一步研究。

图5　NACA23015前缘形状修型结果Fig. 5　Modified leading edge of NACA23015

4　结束语

文章提出了一种基于复合映射法及B样条的翼型参数化方法， 可以实现工程实用翼型的参数化表达。进一步研究了参数化方法的几何收敛性、气动收敛性， 结果表明拟合翼型型线、气动特性与原始翼型吻合度高。初步分析了形状函数控制点分布对翼型几何特征的影响， 参数化方法可以实现对原始翼型的局部修型。此外， 拟合翼型气动分析结果表明拟合型线具备光滑连续性。

［1］方宝瑞. 飞机气动布局设计［M］. 北京： 航空工业出版社， 1997： 1326.

图6　NACA23015厚度分布修型结果Fig. 6　Modified thickness distribution of NACA23015

［2］廖炎平， 刘莉， 龙腾. 几种翼型参数化方法研究［J］. 弹箭与制导学报， 2011， 31（3）： 160-164.

Liao Yan-ping， Liu Li， Long Teng. The Research on Some Parameterized Methods for Airfoil［J］. Journal of Projectiles， Rockets， Missiles and Guidance， 2011， 31（3）： 160-164.

［3］陈进， 王旭东， 王立存. 基于泛函的风力机翼型形状优化设计研究［J］. 太阳能学报， 2010， 31（5）： 643-646.

Chen Jin， Wang Xu-dong， Wang Li-cun. Shape Optimization of General Airfoil Profiles for Wind Turbines Based on Functional Theory［J］. Acta Energy Solar Sinca， 2010，31（5）： 643-646.

［4］钱翼稷. 空气动力学［M］. 北京： 北京航空航天大学出版社， 2004： 430.

［5］陈进， 张石强， Eecen P， 等. 风力机翼型参数化表达及收敛特性［J］. 机械工程学报， 2010， 46（10）： 132-138.

Chen Jin， Zhang Shi-qing， Eecen P， et al. Parametric Representation and Convergence of Wind Turbine Airfoils［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2010， 46（10）：132-138.

［6］刘莲， 冯仁忠. 遗传算法求解B样条曲线最小二乘拟合问题［J］. 应用数学进展， 2014， 3（3）： 160-168.

Liu Lian， Feng Ren-zhong. Least Squares Fitting with B-Spline by Genetic Algorithm［J］. Advances in Applied Mathematics， 2014， 3（3）： 160-168.

［7］De Vargas LAT， De Oliveira PHIA， De Freitas Pinto RLU，et al. Comparison Between Modern Procedures for Aerodynamic Calculation of Subsonic Airfoils for Application in Light Aircraft Designs［C］//Proceedings of Cobem 18th International Congress of Mechanical Engineering， 2005.

（责任编辑： 陈曦）

A Parameterization Method for Airfoil Based on Composite Mapping Method and B-Spline

ZHANG Shen-rong1，2，CAI Wei-jun1，YANG Chun-wu1，CUI Xin-shan1，2
（1. The 705 Research Institute， China Shipbuilding Industry Corporation， Xi′an 710075， China； 2. Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory， Xi′an 710075， China）

Reducing geometric design variables can improve the computational efficiency of aerodynamic optimization of airfoil. For design feasibility， a parameterization method is proposed， in which a B-spline fitted shape function is transformed into practical airfoil with composite mapping method. The convergence property of this parameterization method is analyzed via some low-speed airfoils. The fitted airfoil profiles are highly approximate to the original ones， and their aerodynamic characteristics show remarkable consistency. In addition， the influence of the shape function control points on the geometric characteristics of airfoil is analyzed， and local control of airfoil profile is achieved. Results indicate that this parametric method can represent known airfoils and modify local airfoil profiles， and can be applied to airfoil optimization. Keywords： airfoil design； parameterization method； B-spline； composite mapping； convergence property

TJ630.2

A

1673-1948（2015）03-0161-05

2015-02-12；

2015-03-18.

张珅榕（1989-）， 男， 在读硕士， 主要研究方向为水下航行体总体技术.