谈数学教学中证明的合理性

黄新生

一、 数学教师的困惑

要获得结论“三角形的内角和等于180°”，可以直接测量三个内角求和，也可把三角形的三个内角撕下来拼成一平角（或可以通过折纸，把三角形的三个内角折成一个平角）。但这些操作有局限性，针对的对象总是具体的三角形，拼折中是否存在误差不能判断，需要更为严格的数学证明。数学证明方法可以添加辅助线，利用平行线性质去获得证明。而在实际教学中， 数学教师碰到了一个特殊的证明方法：长方形的四个内角都是直角，其和为360°，长方形可分成两个完全一样的直角三角形，所以直角三角形的内角和就是360°÷2=180°，又因为锐角三角形和钝角三角形都可以分成两个直角三角形，所以它们的内角和就是180°×2，再减去合并在一起的两个直角，最后结论也是180°。因此，任意三角形的内角和都是180°。[1]

上述方法是否正确，教师们形成两种截然不同的观点。一种观点认为“从长方形内角和出发去证明三角形内角和定理，没有违背几何的逻辑体系”。他们在《几何原本》的卷1中找到定义22（部分）：角是直角且四边不全相等的四边形叫做长方形，从而得到长方形内角和是360°，认为逻辑推理的起点是合理的，这种方法是可行的。另一种观点认为“多边形内角和的知识基础应该是三角形的内角和定理”。也就是说，我们只有从三角形内角和定理出发，才能去推导出四边形内角和，倒过来证就会犯循环论证的错误。客观上，教材的处理也是从三角形内角和定理去获得四边形内角和。

二、 关于特殊证明的初步分析

为什么在教学中会出现由长方形的内角和去获得结论？这很大程度上是由于教材编排的缘故，按照知识点出现的顺序，教材上是先有长方形的认识，再有三角形内角和定理，教师在对结论“长方形的四个角都是直角”或定义“四个角都是直角的平面四边形叫长方形”确信无疑的情况下产生了该方法。为了进一步寻求支持，教师以《几何原本》卷1中的定义22作为逻辑推理的出发点展开证明，这种支持是乏力的，因为《几何原本》的公理按现代观点来看是不够严格的，1899年希尔伯特（D.Hilbert）出版的《几何基础》将它严格化。我们从作图的角度来看，要在平面上作一个长方形，只能顺次作三个直角，最后一个直角是直接形成的。

为什么教师们要从《几何原本》上追溯特殊证法的源头？他们寻求逻辑支撑的行为值得思考。这一定程度反映了教师的柏拉图主义数学观，他们认为数学是一堆稳定而统一的知识，是一套清楚的互相关联的结构及真理，由逻辑及意义把它们联系起来。大家都知道，《几何原本》是用公理化方法建立起演绎数学体系的典范。数学公理化的主要目的并不是要求我们通过公理化去现发数学结论，而是要把已有的数学结论纳入到统一的知识结构体系之中。可许多数学结论的获得一开始并不都是通过逻辑推理，而是先进行数学实验或猜想，再验证（证明或反驳）。在实际的三角形内角和定理教学中，实验方法获得的结论为下一阶段进一步严格证明提供了证明的方向，使人更容易想到要利用平角的定义和平行线的性质来证明，整个过程是一个逐渐严格化的过程。同样，不同的数学发展时期对数学的严谨性理解不尽相同，数学的真理性时时受到挑战，“数学不再是绝对真理的集合”这样的认识目前正在被大家所接受，现在的数学教学不可能按照公理化的方法演绎数学知识。

三、 如何看待数学教学中证明的合理性

康托（G.Cantor）在1883年曾作了这样的著名论述：“数学的本质在于自由”。数学教学不要用数学的严谨性禁锢学生的思想，要让学生敢于提出问题，发现数学知识。数学教师要以“学生已经知道了什么”为基础来展开证明教学，教学的出发点要始终落实在学生已有的数学知识基础上。数学教师要明白学生在不同阶段对数学结论会有不同层次的证明，要关注数学知识的非逻辑、非演绎证明，可通过数学史、数学实验和数学软件等来促进学生对数学知识的理解。

1.证明的合理性不能完全依赖于教材

数学课程通常扩大数学的公理系，即扩大逻辑推理的起点，增加逻辑推理的依据，扩大后的公理系不再是独立的，是不严格的。这就降低了数学知识推理的难度，让相同的数学结论产生不同的证明有了更多的可能。人们总是希望数学越严格越完善就越好。可是，我们不能把数学史中的数学、公理化后的数学一古脑儿呈现给学生，而是要选择对学生来说是有用的数学，核心的数学。也就是说，教材要考虑学生的学习需要和认知特点，对数学内容作出选择和处理。我国数学教材常常采用螺旋式递进的方式编排数学内容，同一课程标准下有多种数学教材，同一个数学概念在不同层次、不同版本的教材中表达也会不一样。因此，教学中评判证明的合理性不能完全依赖于教材。我们虽然没有必要让学生用公理化的方法重新构建起数学知识的大厦，但应该让学生逐步养成说理的好习惯。

影响数学知识获取顺序的因素比较多，其中知识逻辑顺序、知识历史顺序、教材编排顺序和教学设计顺序最终都要通过学习者已有的认知结构才能发挥作用，而且有些顺序之间并非是一致的。像数系扩充的历史顺序是先有无理数再有负数，而教材的编排顺序是先有负数再有无理数，教材的这种安排主要考虑了知识的逻辑结构。但学习者对数学概念的理解过程与数学概念的历史发展过程常常具有一定的相似性，这就需要数学教师去理清数学知识发展的历史顺序。教材中数学知识的呈现总是有序的，知识甲到知识乙总是单向的，而知识甲、乙在数学知识课程体系中可能会有逆向的通道，先接受（证明）哪个知识点取决于学习者（包括教师）已有的数学知识和活动经验。教学中教师要区分科学的数学与课程的数学、教师自己的数学与学生的数学之间的不同。

2.证明的合理性应侧重于是否从已知去把握未知

数学学习并不都是从一个数学结论的证明到另一个数学结论的证明，通常是先要发现数学知识，再接受、应用数学知识，这样的学习过程不可能一厢情愿地按照教材的知识结构顺序展开，它总是取决于学习者头脑中已有的知识基础和学习经验。正如韬尔（D.Tall）提出的数学证明的三个水平：直观形象性证明、过程概念性证明和形式化证明，不同的人在相同的数学知识证明上表现也会不同。就拿三角形内角和定理的证明来说，小学生会选择量一量、拼一拼、沿三角形的边转铅笔等动手操作的方法，虽然这样的方法更多的时候是用来发现知识的，并非是严格意义上的证明，但对他们来说这样做就是一种“证明”。而初中生有平行线方面知识的基础，会选择利用平行线性质来证明，两者对数学知识证明的水平是不同的。我们不能用同一把尺子去要求不同层次的学生，教学中证明的合理性要与学生的知识层次相适应。

在三角形内角和定理的特殊证明中，教师们因不同的观点产生碰撞而困惑，双方都试图寻找理由来说服对方，这样的困惑往往是一个群体的困惑。同样，数学学习是在一定的学习共同体中进行，需要数学交流，所学知识需要学习共同体的认可。而证明就是数学交流的一种方式，这种交流会受到学习共同体认知水平的局限，交流中的数学其严谨性也是相对的。如果对数学知识演绎结构缺乏了解，但已接受结论“任意两个完全一样的直角三角形定能拼成一个长方形”，从而断定中间结论“直角三角形的内角和为180°”，产生类似于由长方形的内角和去获得三角形内角和定理的证明方法，我们没有必要担心犯了循环论证的错误，这样的方法同样起到了证明所起到的验证结论、增强知识理解的作用。我们这里所说的证明，既是数学上对结论对错的探索，又是人参与的一项求真活动。证明教学要引导学生从已知去探寻未知，其过程需要遵循一定的规则，但又不能完全依赖于逻辑，不能固守数学知识演绎的方向。

3.证明的合理性需要非逻辑过程的支撑

曾有人给出三角形内角和定理获得的7种证法，让中学数学教师判断哪些是数学证明。毫无疑问，利用平行线性质的欧几里德证明和毕达哥拉斯证明都是数学证明，而直接测量内角获得结论被认为不是数学证明，少数教师认为利用几何画板的动画功能、撕角拼平角、一个顶点变动到极限位置来获得结论是数学证明，44%的教师认为由“人绕三角形一周方向改变360°”来获得结论是数学证明。[2]一般来说，证明基于推理，推理的依据可来自权威、案例和规则。而数学证明有特定的含义，需要对数学概念下定义，从条件出发，依据公理和已证定理，正确使用推理规则去获得结论。小学阶段学生不可能进行形式上的数学证明，他们推理的主要依据常常来自教师和课本，来自于不完全归纳。他们的证明通常是实验、实践证明而不是逻辑证明，他们用并不严格的方法发现、“证明”、解释数学结论。我们要关注那些被中学数学教师认为不是数学证明的证明方法，正是这些方法成为学生数学学习不可或缺的内容，让他们的数学学习过程更加精彩。

历史上与现在教师的特殊证明相类似的方法，是英国数学史家希思（T.L.Heath）关于泰勒斯如何获得三角形内角和定理所作的一个推测：等腰三角形（包括等边三角形）沿底边上的高分成两个相同的直角三角形，这两个直角三角形可拼成一长方形，从中可得直角三角形与等腰三角形的内角和，不等边三角形也可通过补成长方形的方法来获得其内角和。[3]教师的特殊证明方法与希思的方法都涉及到三角形任意性和具体性方面的逻辑问题，在数学知识的演绎方向上完全相同，都是在已知长方形的内角和为360°的情况下展开推理，只是现在教师的方法侧重于割而不是补，而割的方法更符合人们（特别是小学生）的认识特点。教师的特殊证明改变了教材上数学知识演绎的方向，从长方形、直角三角形内角和再到一般的三角形内角和，体现了特殊到一般的化归和分类讨论的数学思想方法，一定程度上印证了古人的推理方法，还让小学生也能去证初中生才能证明的数学结论。用这样的特殊证明方法（或希思的推测）来设计今天的三角形内角和定理教学，会带来意想不到的效果。总之，我们不能用数学的严谨性来扼杀数学教学上的奇思妙想。

参考文献

[1] 顾志能.“三角形内角和”可以这样教吗[J].小学教学：数学版，2008（6）.

[2] 周超，鲍建生.对中学数学教师证明素养的一次调查[J].数学教育学报，2009，18（6）.

[3] 汪晓勤.三角形内角和定理：从历史到课堂[J].中学数学月刊，2012（6）.

【责任编辑：陈国庆】