论数学建模与高等数学教学

樊帆 周林林

摘 要：数学建模是将数学的原理应用到具体问题中的一种基本方法，但往往具体的数学原理很难直接被应用到建立数学模型之中，为了增强实用性，就要在高等数学的教学中引入一系列数学模型，会使学生在学习数学原理的过程中体会到原理的具体应用的妙处，增加学生的学习兴趣，开阔学生的思路，从而能够更好的将数学思想应用到解决实际问题之中。

关键词：数学建模;高等数学;教学

任高校数学教师以来，一直发现学生在学习高等数学时，感觉高等数学的教学过于抽象，定义、定理、性质、计算，一切教学的目的皆围绕着令学生掌握数学原理与公式，其结果就是学生在学习高等数学的过程中长期要应付各种各样的公式与定理，对于本来对数理方面要求较高的专业而言，这是一个打牢基础的必要过程，然而对于一些工科，经济等对理论要求不高，而更倾向于数学的实际应用的学科而言，一味讲授抽象的理论知识，会令学生感觉所学理论与所用相去甚远，进而对数学产生厌学的心理，而为了改变数学教学的这种特性，引入数学建模的思想是很有意义的。

一、数学建模与高等数学教学的联系

近年来经过一系列建模竞赛容易发现，数学建模的思想是对我们所掌握的数学原理在解决现实问题中的直接应用，而这种应用可以很好的将抽象的数学理论直接与具体实际联系起来，通过学生对问题观察分析，并且寻找适当数学工具的过程，培养学生的自主解决问题的能力与创新思维。而通过对几组学生对同一个建模问题采用不同方式解决的过程，教师往往可以看到很多在日常教学中学生难以表现出来的各种奇思妙想，而这种思维能力如果加以培养很可能会成为学生在日后的学习与研究中提出新观点、新思路以及独创见解的基础。

基于此种考虑，我们容易看出，在日常的高数教学中引入建模案例，必然会使原本枯燥的单纯讲授理论，向学生介绍数学的原理，转向引导学生思考高数原理在具体实际中是如何被应用的，达到激发学习兴趣，帮助学生更好掌握数学工具，并培养学生的创新能力的目的。

二、微分方程的建模案例

在高等数学中，被广泛应用于数学建模中的就是微分方程这部分的知识，而在此我们将常见的几种微分方程以及相应的建模案例列举如下

1.可分离变量的微分方程——马尔萨斯人口模型

英国人口统计学家马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率基本上是一个常数，因此可将人口总数表示为

[dNdt=rN]（1.1）

显然，这是一个可分离变量的微分方程，根据可分离变量微分方程的计算公式有

[dNN=rdt?N=N0er（t-t0）]

其中[N0=N（t0）]即初始时刻的人口数量。

2.一阶线性微分方程——RLC电路

包含电阻[R]电感电容[C]以及电源[E]的电路称为RLC电路，由基尔霍夫第二定律可以得到如下方程：

[dIdt+RLI=EL]

易见，这是一个一阶奇次线性微分方程，则代入初始条件，根据一阶奇次线性微分方程的通解表达式，容易求得该方程的解。

3.高阶微分方程——悬链线方程

设一理想的柔软不能伸缩的细线，两端分别挂在以[A，B]支点上，由于重力作用自然弯曲，求悬链线形状[y=y（x）]，为解决此问题，我们可以得到如下方程：

[d2ydx2=a1+（dydx）2]

则按高阶微分方程求解法求解，可求出悬链线的形状表达式。

通过以上几个问题，我们发现，在微分方程的教学过程中引入具体的建模案例，会将微分方程的实用性直接展示在学生面前，扩展学生的思路。

三、高等数学其他的一些建模案例

除了微分方程之外，还有一些理论都可以在教学中引入数学建模的思路，比如学习函数的极值与最值问题时，我们可以引入可口可乐罐的形状设计模型：为了使可口可乐的饮料罐设计最为合理以达到大批量生产时节约原料缩减成本的目的，厂家在设计饮料瓶的时候往往会在形状上进行最优化设计，在同样的容积的前提下，寻找表面积最小且方便携带的形状是设计饮料瓶形状的基本目的，而为了实现这种目的，则可以将容积设为定值，从而利用求函数最小值的方法，寻找表面积最小的直径与高度，从而实现设计目标。

除此之外数学建模还可以应用到很多其他的数学理论之中，而在不同的内容中引入数学建模的不同案例，可以将高等数学的各知识点与具体问题紧密的结合在一起，使高等数学的教学不再是单纯的知识传授，还可以培养学生独立思考和利用数学知识解决实际问题的能力。

而具体如何将建模思想更好的和高等数学的教学相融合，还需要在教学实践中进一步思考。

參考文献：

[1]微分方程与数学建模吴丹桂《景德镇高专学报》200015卷12期。

[2]数学建模在经济学与社会学中的应用。陈翀《企业经济》2010年第4期

[3]《应用微分方程》李瑞遐华东理工大学出版社2005年版

作者简介：

樊帆（通讯作者）（1981.09～ ），性别：男，汉族，籍贯：北京，学历：硕研。