函数极值的求法及其在经济管理中的应用

杨玉希

【摘要】函数极值是数学中一个非常重要的概念和性质，在经济管理中可以解决如何投入最小，产出最多，利润最大化的问题，从而实现企业的科学管理、科学决策。本文讨论了函数极值的求法及其在经济管理中的广泛应用。

【关键词】函数极值 求法 经济管理 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0150-02

一、问题的提出

这是一个大众创业、万众创新的时代，科学的经济管理对企业生存和发展是非常重要的。函数极值是数学中一个非常重要的概念和性质，它对增强企业的科学管理有很强的指导作用，在经济管理中有着广泛的应用。利用函数极值研究商品的市场需求、库存管理，利润最大化，实现企业管理的正规化、科学化；以适度的生产量，以最低限度的库存，使企业的利润最大化，实现经济增长方式的转型升级。本文讨论了函数求极值的两类方法：均值不等式法和导数方法以及函数极值在企业的生产量、库存管理和利润最大化方面的应用。

二、函数极值的求法

（一）均值不等式法求极值

均值不等式是数学中的重要不等式，在求函数极值中有极大的作用。均值不等式表现为调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算数平均数，算数平均数不超过平方平均数，即

即函数f（x，y）的极小值也是函数的最小值为2。

求函数极值最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”。 “一正”指正数，“二定”指和或积为定值，“三相等”是指等号成立，连续使用均值不等式时要求等号同时成立。

（二）导数求极值

利用函数极值存在的必要条件求得极值点的存在范围：驻点和不可导点。再利用极值存在的第一充分条件或第二充分条件求出函数的极值、最值。

例2：求函数f（x）=x2-2ax+b，（其中x∈R）的最小值。

解：函数两边对x求导得

f'（x）=2x-2a=0

即唯一的驻点为x=a而f''（x）=2>0

于是，當x=a时，f（x）取得极小值，这唯一的极小值也是函数的最小值。

若X为随机变量，令a=E（X），b=E（X2）则f（x）=x2-2xE（X）+E（X2）=E（X-x）2，于是当x=E（X）时，函数取得最小值E（X-E（X））2=DX。即是说随机变量X距离其数学期望E（X）的离散程度最小；数学期望E（X）是随机变量X取值的集中位置，反映了X平均值。

三、函数极值在经济管理中的应用

数学是经济学的重要工具。函数极值是函数在某邻域之内的最值，是局部概念，但由极值可求出函数的最大值、最小值，所以函数极值在经济管理中有着广泛的应用。利用函数极值研究商品的市场需求、库存管理，可以使得企业库存最低、成本最小、利润最大化。

首先把需要解决的经济管理中的问题数学化，抽象出函数的解析式，给出其目标函数，建立其数理模型；然后将其转化为函数的极值最值问题。

例3：某卖场的某种商品每年的市场需求量X服从[2000，4000]上的均匀分布。每卖出一件，可纯赚3元；若卖不出，则每件需库存费等共计1元。求：卖场应组织多少货源，才能使利润最大？

由函数取得极值的必要条件和第二充分条件得t=3500为函数E（Y）的极大值，这唯一的极大值即为函数的最大值。即组织货源3500件，卖场平均收益达到最大化。

四、结语

函数极值是函数最重要的性质之一，函数极值在经济管理中有着广泛的应用，对企业生存和发展是非常重要。它可以解决在一定条件下要怎么做才会使投入最小，产出最多，效益最高、利润最大化的问题。从而实现企业的科学管理、科学决策，实现企业经济增长方式的转型升级。

参考文献：

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