两类量子力学压缩相干态密度算符的讨论

王震等

【摘要】鉴于量子力学教科书和相关文献对两类压缩相干态的论述比较模糊，本文利用外尔编序下相似变换不变性以及外尔——魏格纳量子化方案，推导出了第一类压缩相干态正规乘积形式的密度算符的解析表达式 。同时，利用压缩算符的正规乘积形式，推导出了第二类压缩相干态密度算符的解析表达式。通过对比第一类和第二类密度算符，发现两类压缩相干态密度算符形式上很相似，但是存在一定的差异，并不是一般的教材和文献里论述的二者是完全等同的。

【关键词】密度算符 压缩相干态 正规乘积

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0161-02

一、引言

量子力学是在19世纪末20世纪初建立和发展起来的一门科学，它的建立是20世纪划时代的成就之一。量子力学与我们的生活密切相关，可以毫不夸张的说，没有量子力学，就没有人类的现代物质文明。量子力学规律已成功地运用于包括材料、化学、生命、信息和制药等领域，对于物理专业的本科生来说，量子力学是物理学专业最重要的基础课程之一，它是学习固体物理、材料科学、材料物理与化学、激光原理、激光物理与技术等专业课程的重要基础[1，2]。通过量子力学的学习，使得学生能够熟练地掌握量子力学的基本理论，具备利用量子力学基本理论分析和解决问题的能力。在物理学课程当中，量子力学的教学既是重点又是难点。

相干态[3，4]作为量子力学中的一个核心概念，不仅是量子物理学中的一个有效方法，而且是激光理论的重要支柱，对了解量子力学理论具有重要的意义，在教学和科研中都具有基础性的作用。相干态的概念最初是薛定谔在1926年提出的[3]，对于谐振子位势，他找到了这样的态。直到1963年格劳伯等人系统地建立起光子相干态，并研究它的相干性与非经典性，同时又证明相干态是谐振子湮灭算符的本征态[4]。现在相干态已被广泛地应用于物理学的各个领域。实际上，相干态是最小测不准态，而且两个正交位相振幅算符有着相同的起伏，在相空间中，相干态的起伏呈圓形，相干态在相空间平移或者转动时此圆保持不变。对于压缩态而言，它是泛指一个正交相位振幅算符的起伏比相干态相应分量的起伏小的量子态，其代价是另一个正交相位振幅算符的起伏增大，但两者的乘积等同于相干态的相应量。压缩态是一类非经典光场，呈现出非经典性质，例如反聚束效应、亚泊松分布等. 压缩态由于其在光通讯、高精度干涉测量以及微弱信号检测方面具有广泛的应用前景使得对它的研究成为量子力学领域的研究热点。

理论上，产生压缩相干态的方式主要有对真空态先平移后压缩（第一类压缩相干态）和先压缩后平移（第二类压缩相干态）两种方式，鉴于很多教材上认为这两种方式产生的压缩相干态完全等同，考虑到压缩算符与平移算符的不对易，而且各量子力学教科书上每提及这两种压缩态的区别时阐述都比较模糊，不能向广大读者提供一个清晰的结论，又考虑到密度算符包含了某一个量子态的全部信息，所以有必要推导出这两种压缩相干态的密度算符并做分析比较，以阐明二者的异同。

二、第一类压缩相干态

对比式（10）和（14）可知，由于产生压缩相干态的方式不同，压缩算符和平移算符之间不对易，得出的两类压缩相干态密度算符也有差异，并不是之前一些教科书里阐述的二者是完全等同的。

四、结论

本文利用外尔编序下相似变换不变性、外尔-魏格纳量子化方案以及正规乘积形式的压缩算符，推导出了第一类和第二类压缩相干态密度算符的正规乘积形式解析式。通过对比二者密度算符可以发现，第一类压缩相干态和第二类压缩相干态密度算符形式上很相似，但是存在一定的差异，并不是一般的教材和文献里论述的二者完全等同。所以在量子力学教学过程中有必要澄清这一既定的事实，不能似是而非，模棱两可。