浅谈函数思想在数列中的应用

●浙江省义乌市上溪中学 吴丽华

浅谈函数思想在数列中的应用

●浙江省义乌市上溪中学 吴丽华

数列作为一种特殊的函数，它的定义域只是正整数集（或它的有限子集），有限子集为{1，2，…，n}.当自变量的取值按照正整数从小到大来取时，对应的数列函数值为f（1），f（2），…，f（n），对应的函数通项公式为an=f（n）.［1］最近几年，在高考命题的考查中，数列和函数的综合题是其重点和热点题型.所以函数思想在数列中的应用的教学中，教师要把函数相关的知识充分地利用起来，通过函数的概念、图像、性质，把函数和数列牵连起来，剖析它们之间的内在关联，从而使得学生深刻感悟到数列与函数之间特殊到一般再到特殊的规律，从而有效地去解答数列问题.［2］本文将结合笔者多年的数学教学经验，谈谈函数思想在数列中的应用，希望能够对学生有所帮助.

一、借助函数有关概念，解答数列问题

数列的第n项an与项的序数n之间的关系，可以用一个通项公式an=（fn）来表示，也就是其通项公式是关于自变量n的表达式，所以我们在解数列题型的时候，可以把它们看作函数去解答，特别是在解答等差和等比这两种类型的数列时更需如此，利用函数的本质和特征来解答数列问题［.2］对于等差数列，它的通项公式是an=a1+（n-1）×d（其中首项是a1，公差是d），写成n的一次函数的格式是an=dn+（a1-d），在特殊情况下，公差d=0时，该函数是常数函数，即an=An+B（A，B为常数）；对于等比数列，相似的，它的通项公式是an=a1*qn-（1其中首项是a1，公比是q），写成n的函数的格式为a，在特殊情况下，公比q=1时，该函数是常数函数，即an=A×q（nA为常数）.等差数列前n项和公式为，换成n的二次函数格式是当缺少常数项时，其公式为S=n（fn）=An2+Bn（A，B为常数）.而等比数列的前n项和也是类似的

点评：求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法.

二、借助函数解析式，解答数列问题

我们都知道，数列是一种特殊的函数，数列是一种已经知道函数解析式，我们通过这个函数解析式解答数列问题，这体现了函数与数列交织的基本形式.一般情况下，解答这类问题，主要是在于理解和分析数列通项公式及数列前n项和的公式这个特殊函数关系的概念，从而正确地得出解答数列问题的思路和方法.

例2已知f（x）=ax+b（a≠0），且f（2），f（5），f（4）成等比数列，f（8）=15，求和Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）的值.

分析：由f（2），f（5），f（4）成等比数列，可得f2（5）=f（2）·f（4），代入可得a、b之间的关系，结合f（8）=15，可求a，b，代入到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）中，利用等差数列的求和公式可求.

解：由f（2），f（5），f（4）成等比数列，可得f2（5）=f（2）f（4），即（5a+b）2=（2a+b）（4a+b）①.

又f（8）=15，则8a+b=15②.

联立①②，解得a=4，b=-17.

2010年7月，蔡振华接替退休的国家体育总局副局长崔大林开始分管足球工作。从那时起，蔡振华身上多了“足球”的标签。

所以f（x）=4x-17，

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）

点评：本题主要考查了等比数列性质的应用，利用待定系数法求解函数解析式，等差数列的求和公式的应用，属于知识的简单应用.

三、借助函数的性质，解答数列问题

函数的性质显性地反映了函数的特征，我们如果能够深刻地了解并且利用函数的性质，那么解答数列问题就可以非常简便了，从而能起到事半功倍的效果.在数列中应用得非常广泛的函数性质有函数的周期性、单调性、奇偶性和函数图像等.数列的通项公式本身就是一个函数表达式，探究数列的函数性质，找对函数的单调区间，便能求出数列的最小项和最大项，或者还可以画出函数图像，观察其最高点和最低点，便是数列的最大项与最小项.通过分析下面这些问题，不仅能够让学生更深一步巩固函数的性质，还能够培养学生解答数列问题的能力，从而提高学生细致分析问题，以及综合应用数学知识来解答问题的能力.［3］

例3 已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn+2，且数列{an}为递增数列，则实数k的取值范围是（ ）.

A.k＞0 B.k＞-1 C.k＞-2 D.k＞-3

分析：若数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，得出2n+1+k＞0，采用分离参数法求实数k的取值范围.

解：因为an=n2+kn+2 ①，

所以an+1=（n+1）2+k（n+1）+2 ②.

②-①得an+1-an=2n+1+k．

若数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+k＞0．

移项可得k＞-（2n+1），k只需大于-（2n+1）的最大值即可.

而易知当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，

所以k＞-3.

故选D.

点评：本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用.

四、借助函数图像，解答数列问题

一般地，最能直接体现函数特征的是函数图像，利用图像来解答数学问题，也就是数形结合，是我们经常会利用到的方法.所以我们解答数列问题的时候，也可以通过数列的通项公式、前n项和的公式中所反映的函数图像，能够解答数列问题，通常都会得到良好的效果.［4］

例4 数列{an}的通项公式为an=2n-49，当Sn达到最小时，n等于（ ）.

A.23 B.24 C.25 D.26

分析：由已知可判断数列{an}为等差数列，由图1可得等差数列{an}的前24项为负值，从第25项开始为正值，由出现正项前的和最小可得答案．

解：由an=2n-49，可得an+1-an=2（n+1）-49-（2n-49）=2为常数.

所以数列{an}为等差数列.令2n-49≥0，可得

图1

故等差数列{an}的前24项为负值，从第25项开始为正值，故前24项和最小.

故选B.

点评：本题考查等差数列的性质，由数列自身的变化，利用图像得到答案是解决问题的捷径，属于基础题.

在解决数列的问题中，灵活地利用函数思想能够很大幅度降低题目的难度，特别是解答一些难度比较大的数列题.如果可以想到题目运用了函数其中的一些性质，那么解答就是非常容易的事了.经常性地让学生去研究和讨论两者的联系，不但可以提高学生的解答速度，还可以培养学生的思维能力.要让学生知道不能为答题而答题，而是需要多去思考各知识点之间的联系，要去挖掘每个知识点的不同和共同之处，达到对所学知识的贯通，才是真正意义上把所学的知识运用到现实生活当中.

1.曾惠云.函数思想在数列中的应用［J］.数学学习与研究，2013（7）.

2.彭吴桃，金莹.函数方程思想在数列中的应用［J］.理科考试研究，2012（3）.

3.刘苏娟.数列中的函数思想［J］.中学生天地（C版）2012（2）.

4.李爽.在高中数学中函数思想的应用案例研究［J］.数学学习与研究，2013（1）.