浅议导数教学中几个值得关注的问题

●江苏省如皋市第二中学 张 伟

浅议导数教学中几个值得关注的问题

●江苏省如皋市第二中学 张 伟

高中数学的导数是解决函数问题的重要知识章节．在学习导数之前，中学数学解决的函数模型停留在基本初等函数和简单的复合函数，对于复杂函数的解决武器主要是利用换元思想处理，而且这样的复杂函数还必须是比较特殊的，对于更为高次的函数：如三次函数、四次函数、lnx函数等寸步难行．

在新课程引入导数章节后，利用导数处理函数的切线、函数的单调性和函数的最值成为了最常见的基本工具，成为了解决复杂函数、陌生函数的主要武器．因此本文将从上述方面结合例题做一些浅显的分析．

一、切线问题的关注

切线是导数作为工具性最初步的体现，在利用导数解决函数切线问题时，往往涉及切线的概念和高次方程求解．从初中学习圆的切线以来，高中对于切线的教学一直没有变化和加深，笔者发现学生往往对于怎么样的直线才是曲线的切线这一概念并不清晰．因此关于切线的问题是导数教学首先值得关注的．

师：同学们，你们知道曲线的切线是怎么定义的吗？

生1：就是和直线仅有一个公共点的直线．（此时用投影给出直线，与双曲线的渐近线平行）

师：一个公共点就是切线吗？

生1：哦，不对．那应该如何规定呢？

师：其实，切线在高等数学中是用割线的极限位置来定义的（用几何画板给出割线到切线位置变化的过程，切线是割线的极限位置，是一个微小量的概念，与交点个数无关），所以我们对切线的认识才刚刚起步．来看一个问题：

解析：y=3x-8（.过程略）

设计意图：类似问题的设计使学生明白，以点P为切点和过点P的切线并不是同样的问题，让学生理解这种不同语言描述的区别．

生2：和变式1有联系，过点（3，1）一样，其中一条曲线相同．

师：刚才的题都是和一条曲线相切，这里要和两条曲线相切，如何处理？

生2：先让它和一条曲线相切，之后再控制它和另一条曲线相切．

师：好的，先让它和哪条曲线相切？

生2：三次曲线．

师：为什么？

生2：三次曲线变式1求过了．

师：好，现在要让刚才求出的两条直线分别和二次曲线相切了．如何控制直线和二次曲线相切？

生2：联立Δ=0．可得切线为y=1或y=3x-8，又与y=ax2+x+1相切，所以Δ=0，解得

师：好的，同学们懂得利用转化思想转化了陌生的问题．

师：大家一边看一边想“有三条切线”等价于求什么？刚才变式1中有两条切线，是如何求的呢？

生3：“有三条切线”等价于“有三个切点横坐标x0”．

说明：对于导数中的切线问题，笔者以为用上述题根式的方式展示了循序渐进的探究过程，让学生从最基本的求切线到以切线为本的演化问题，都值得导数教学关注．

二、极值问题的关注

函数极值是导数研究的重要方向，在研究极值相关问题时，笔者认为主要注意三个方面：其一，对于极值产生最基本的分析；其二，含参问题的分类如何介入讨论；其三，单调性处理的类似恒成立、存在性问题中的方法选择等．看一个某次考试的压轴导数解答问题：

问题2：函数f（x）=alnx+x2+bx存在极大值．

（1）若a=1，求b的取值范围；

（2）求a的最大值，对满足题意的所有的b而言，函数f（x）的极大值恒小于0．

分析：从笔者阅卷情况而言，本题是本卷中难度最大、计算量最大的问题，若将得分从0~8分分为九档的话，每一档都有学生的分布，说明本题的区分度比较好．易得分的点：一般学生能对函数进行求导，能将简单的问题转化为熟悉的情境求解，大部分学生的得分在2~3分；部分学生能更进一步将第（2）问进行分类讨论，得分在4~5分；少数学生通过各种不同的方法（主要是3种）将最终的解答正确求出，但在步骤严密性上有所缺失，得分在6~8分．

解：下面主要介绍第（2）问的三种不同解法：

说明：本题也有极少学生采用先消去a，求出b的最值，进而求a的最值，此处不赘述．解法1是比较完美的解法，将分类带参讨论分析得非常细致；解法2在最后的处理上选择了参变分离，选择定函数求解，从运算难度和分析难度上比解法1低，也不失为好方法，但在本质上与解法1没有区别；解法3是比较投机取巧的一种解法，最大的困扰，也是无法解释清晰的正是解法中的“利用图形的变化推测，要使得a最大，必须b2-8a→0，考虑到a>0及对称轴x=->0圯b<0，得b=-，此时x=-”这

1句话，但是数形结合在分析本题中至少起到了一定的作用，帮助学生理解、迅速解答最终的答案，但是过程环节无法做到完美．从错误原因来看：学生对极值的研究存在下列错误原因：①第（1）问中，很多学生只解决了导函数为什么存在零点，忽视零点必须为正的前提，导致失分；②无法正确解读，两个关系式之间的联系，从三个变量降元为两个变量圯alnx1-a<0进行求解，很多学生利用直白的表达方式此法是无法代入原函数进行化简运算的；③对极大值点x的取值范围无法准确辨别，对“x·x=>0圯a>0，故”的判别不足，导致最终的解答无法求出最大值，只能得到a<2e3；④分类讨论能力、数形结合能力、转化化归能力不足．

教学建议：从本题可以看出，作为极值压轴问题其难度较大，将各种能力层次的学生做了一一的区分．针对本题，笔者认为导数极值教学有这样的建议：①对于程度较弱的学生，立足基本解决第（1）问为主，保障导数基础知识的运用；②对于中等程度的学生，在解决第（1）问的基础上，围绕第（2）问建立起相对应的不等关系式，知道并了解要存在极大值必需满足的部分条件和转化；③对于最优秀的学生，平时教学提倡对这样的函数问题进行变式挖掘和一题多解的分析，立足渗透多元的降解能力的培养，以及各种数学思想方法的渗透，本题的多元降解思路（无法直接解决利用韦达定理得到的根进行运算求解）与2013年高考导数大题较为相似，有兴趣的老师可继续研究．

1.曹军.高中函数教学中避免不了的五个问题［J］.中学数学杂志，2013（7）.

2.柴贤亭.数学教学中的导数问题设计［J］.教学与管理，2012（10）.

3.鲍建生，等.导数变式教学研 究［J］.数学教学，2013（1）.