梁小松
【摘 要】本文首先介绍了RMI原理,即关系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion) 原理。结合目前中职数学教学中遇到的问题,阐述了笔者在教学中应用RMI原理与信息技术整合对学生进行解题训练的几个实例,希望对同类教学有一定的帮助。
【关键词】中职数学;RMI原理;信息技术;整合
【中图分类号】G712 【文献标识码】B
【论文编号】1671-7384(2015)09-0083-03
RMI原理概述
1. RMI原理即关系映射反演原理
RMI原理即关系映射反演原理(关系Relation、映射Mapping、反演Inversion),是由中国著名数学教育家徐利治教授于1983年首先得出的,它是经过建立一种映射,把所研究的对象从一个结构系统中映射到另一个结构系统中去,利用新的结构系统中的知识,研究问题的解,然后再通过反演,得到原来问题的解答的一种解决问题的思维方法。它是实现化归的一种重要的、规范化的原理。因此,在较复杂的数学问题解决过程中,可以考虑借助于RMI这一模式简化数学问题,达到解决问题的目的。
RMI原理的内容可用框图表示如图1所示。
图1 RMI原理
简单地解释这个框图就是:我们要求的未知目标原象x是一个不容易求出的量,通过含有x的原象关系结构R,利用映射M(一一对应)将所求问题映射到映象关系结构R*,从R*中找出未知原象x的映象x*,如果x*可以确定下来,再通过反演即逆映射M-1就可以将未知目标原象x确定下来。值得注意的是,这里用到的映射M与反演M-1必须是确实可行的,否则整个过程都将无任何意义。
2. RMI原理的具体应用
人们一看到RMI原理,会产生很多的疑问,不知道其是何意。其实,早在我国古代就已经有人运用它来解决问题了,“曹冲称象”就是一个典型的实例。在当时的技术条件下,直接称大象的质量是很难办到的,于是曹冲就想到了利用现代物理学的有关浮力的原理,把称量大象的质量转化为称量与其等重的石块的质量,称量大象转化为称量石块,问题一下子就被解决了。简单地说,RMI原理的基本思想就是数学的化归思想。
此外,我们在利用对数来计算庞大的数字的乘、除、乘方、开方等运算时,常常用的就是这一模式。一般是先取其对数,然后利用对数的性质将乘、除、乘方、开方等运算转化为加、减、乘、除等运算,计算出结果后再求反对数,就得到所需计算的结果。
中职数学教学中RMI原理与信息技术的整合
1.在解决几何问题中的整合应用
学习数学不仅要学习它的知识内容,还要掌握数学的思维、思想和方法。掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆,领会数学思想方法是通向正迁移大道的“光明之路”。结合中职数学的具体内容渗透数学思想方法,不仅能使学生更好地理解和掌握数学内容,更有利于学生感悟数学思想方法,初步理解数学内容的精神,感受数学科学的精髓和思想。在教学中,教师应注意这种思想在中职数学中的渗透,使学生领会RMI这种重要的数学思想,使他们学会运用这种思想解决在数学学习中遇到的困难,从而达到锻炼思维、激发学习数学的兴趣的目的。而适时引入多媒体、网络等信息化教学手段进行教学,可以大大加快学生对知识理解的进程。
例如,中职数学教材中有这样一个问题:在铁路的同侧有两个工厂A、B,要在路边建一个货场C,使A、B两地到货场C的距离之和最小,如图2所示。问货场C应在什么位置?
图2
要解决这个问题首先要把它数学化,把它变成一个几何问题,即用到建模的思想,然后利用RMI原理进一步求解。因此,可把此问题映射到平面几何中对称的结论,作A以铁路为轴的对称点A,连结AB,AB与铁路的交点就是货场C,此过程中我利用几何画板制作了一个课件,利用软件绘制的生动、形象的图形,让学生通过对直观图形进行观察和测量,理解抽象的理论概念,从而证明C点到AB两点距离之和最短。再反演回到问题的开始,即可得出结论,在整个解题过程中渗透此原理,而信息化教学手段的应用又降低了学生的学习难度,达到了很好的整合效果。
2.在解决应用问题时的整合应用
应用问题从来都是中职学生学习数学的一个难点,教学过程中如何突破难点是一个需要认真思考的问题。数学思想方法总是蕴含在具体的数学基本知识里,处于潜形态。如何挖掘问题中深层次的信息是关键,要获得问题的答案,当然会想到把它化归成我们熟悉的问题来解决,RMI原理的应用就顺理成章了。例如,在人教版中等职业教育课程改革国家规划新教材数学(基础模块)上册(2009版)3.3中有下列例题:一家旅社有客房300间,每间房租20元,每天都客满,旅社欲提高档次并提高租金,如果每间房租每增加2元,客房出租数会减少10间,不考虑其他因素时,旅社将房租租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?
我们先设提高x个2元时,利润为y元,把问题映射到y关于x的函数,求出函数的最值,再反演回到问题的开始的原象,问题便得以解决。具体过程思维框图如图3所示。
图3
教师可用多媒体课件把配方的过程加以演示,以提高教学效率。
3.在求函数值域问题中的整合应用
又如求函数f(x)=0.2-x+1(x∈R)的值域,由于直接求原函数的值域有困难,学生很难想出思路,教师适时进行引导,把此问题映射为求其反函数f -1(x)= log(x-1),再求反函数的定义域x>1,反演回到原函数的值域y>1,具体过程思维框图如图4所示。
图4
此时,教师“另辟蹊径”,利用教学软件给出函数y=0.2-x+1(x∈R) 的图像,如图5所示。
图5
学生直接从图像上即可看出函数的值域,遵循了教学的直观性原则,可见“数形结合”的重要性,也体现了信息化教学的优点。
4.求函数解析式时的整合应用
函数中的换元法,也是RMI原理应用的一种表现,即将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量),然后找出函数对中间变量的关系,从而取表达式。我们看如下例子:
已知 ,求f(x)的表达式。
本题很难用定义法解决,即通过配方、凑项等使之变形为关于“自变量x”的表达式。因此,可用一个新的变量代替函数中原来的自变量表达式,在此过程中要注意自变量的范围。其过程用框图表示如图6所示。
图6
解题过程:令u=(u≠1),
则x=,
于是f(u)=,
以x代u得:f(x)=x2-x+1。
我在讲授时利用PPT制作了课件,把整个化简的过程加以展示,上课时只须用鼠标作“一指禅”,每次轻轻一点,相关的步骤就自动展现出来。课件还有一个优点就是具有可重复性,老师可根据学生的接受情况,随时返回需要重复的内容,这样提高了课堂的效率,增大了课堂的容量。
以上内容阐述了笔者在中职数学教学中把RMI原理的应用与信息技术整合的几个教学实例,使RMI原理这棵“老树”在信息化教学手段下发出了“新芽”,达到了预期的整合目的。当然,RMI原理的思想方法作为数学思维的重要特点之一,体现了数学的抽象性,是数学思想、数学方法的重要体现。它也不是万能的,因为它并不能独立解题,而是基于应有的数学知识之上,寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“简单、容易”的映射。在新的领域中,使问题得到解决,再“反演”回原来的领域中去。 笔者同时也认为,信息化教学手段更不是万能的,首先,不是每个数学知识点都能用上多媒体,用得不好还有可能分散学生的注意力,干扰学生的解题思维,削弱课堂教学效果,数学课件的设计始终应将解决数学教学中的问题放在第一位;其次,应用多媒体课件上课,教学密度加大了,留给学生思考的时间却少了,有可能产生学生对一些内容感到“一知半解”的结果。因此,我们要不断地探索和实践,这是我们广大教师的责任和追求。
参考文献
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(作者单位:云南昆明市盘龙职业高级中学)