中考中的一元二次方程

古作军

一元二次方程是初中数学中一个重要内容，是以后学习数学的基础，也是中考必考的知识点.

考点一 解一元二次方程

例1 （2014·浙江舟山）方程x2-3x=0的根为_________.

【考点】用因式分解法解一元二次方程.

【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解.

【解答】因式分解得x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.

考点二 一元二次方程解的概念

例2 （2014·江苏扬州）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为_________.

【考点】一元二次方程的解.

【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可.

【解答】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，

∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5

=2a（a+3）+（b+3）+3（a+3）-11a-b+5

=2a2-2a+17

=2（a+3）-2a+17

=2a+6-2a+17

=23.

故答案为23.

考点三 一元二次方程根的判别式

例3 （2014·江苏扬州）已知关于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值.

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【分析】根据根的判别式令Δ=0，建立关于k的方程，解方程即可.

整理得k2-3k+2=0，即（k-1）（k-2）=0，

解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2.∴k=2.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：

（1） Δ>0？圳方程有两个不相等的实数根；

（2） Δ=0？圳方程有两个相等的实数根；

（3） Δ<0？圳方程没有实数根.

考点四 利用一元二次方程解决实际问题

例4 （2014·贵州安顺）天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用解题.设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游，由对话框可知，超过25人的人数为（x-25）人，每超过1人每人降低20元，共降低了20（x-25）元，实际每人收了[1 000-20（x-25）]元，列出一元二次方程求解.

【解答】设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为[1 000-20（x-25）]元.

由题意得：x[1 000-20（x-25）]=27 000，

整理得：x2-75x+1 350=0，

解得：x1=45，x2=30.

当x=45时，人均旅游费用为1 000-20（x-25）=600<700，不符合题意，应舍去；

当x=30时，人均旅游费用为1 000-20（x-25）=900>700，符合题意.

答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.

【点评】此类题目贴近生活，有利于培养同学们应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.特别提醒：求解后，要检验其解是否满足题意.

例5 （2013·江苏淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元.请问她购买了多少件这种服装？

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出一元二次方程，解出方程即可.

【解答】设购买了x件这种服装，

根据题意得：

[80-2（x-10）]x=1 200，

解得：x1=30，x2=20，

当x=30时，80-2（30-10）=40<50，不合题意舍去；

当x=20时，80-2（20-10）=60>50，符合题意.

答：她购买了20件这种服装.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键.特别提醒：求解后，要检验其解是否满足题意.

通过以上四个考点的分析，希望同学们对一元二次方程的考点有足够的理解，进行针对性的训练，在中考中提高一元二次方程考点的得分率.

（作者单位：江苏省南京师范大学第二附属初级中学）