函数思想在高中代数教学中的应用研究

姜苏峻

摘 要： 函数思想贯穿于高中的各个章节，是变量数学的重要内容。变量与变量之间的对应关系、映射关系，它用联系和运动、变化的观点描述量与量之间的依存关系。

关键词： 方程思想 函数思想 高中数学

纵观整个高中数学教材，函数思想始终贯穿每个章节，是变量数学中最重要的内容，函数思想也是数学思想中的很重要的一种，它以函数知识为基础，具体地用变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，更广阔地拓展了有关函数的问题的应用研究，同时也使数学活动不再单调，解题过程多种多样，强化了数学思维，提高了数学意识，给数学解题带来一股很强的创新之风。因此，函数问题在历年高考中所占的比重始终较大，而且题型也越来越新颖。

函数思想在高考中的应用主要是函数的概念，其中，各种函数的性质及图像的应用是最基础的内容，它包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。具体而言，利用问题中的数量关系，用数学语言阐述已知条件，进而创造出数学模型。也就是用运动和变化的观点，研究和分析已知题中的数量关系，通过构造或建立函数关系式，最后研究函数的图像和性质彻底将问题转化，达到解决问题的目的。这与方程思想有着明显的不同，后者必须先将问题中的各个变量之间的等量关系弄清楚，然后利用这个等量关系列出方程，最后再解方程或方程组达到最终目的。方程思想和函数思想联系非常紧密，交叉互换情况比比皆是。

一、二次函数问题

一般的，方程中只涉及一元二次方程的解法通常比较简单，只要按照一般解答题的方式就可以解决。但是有很多问题是将一元二次方程与二次函数相结合，这类问题通常不会在小题中出现，都会位于试卷的后面，属于综合性的大题。解决这类问题，常常会将所有有关方程和函数的所有内容涵盖其中，比如根的判别式，与x轴是否有交点，判断某些不等式的成立条件，等等，这类问题通常都比较复杂。

二、三角函数问题

从近年的高考试卷中可以看出，有关三角函数的试题一般来说不是很难，题型也都变化不大，相对来说考点基本上都大同小异，没有什么特别。因此，学生在学习这部分内容时重视的内容也会比较集中，三角的基础性知识是根本，例如有关三角函数的图像和性质，或者是它的周期性和单调性，当然课本上有些已经简化了的奇偶性和对称性等方面也需要理解和掌握。高考中三角函数部分基本上以求值、证明和最值问题这三个方面作为重点掌握题型。这就需要同学们对相关内容的掌握，特别是熟练运用三角函数部分的几个诱导公式。

三、数列问题

近年来，数列问题在高考中屡见不鲜，因此这部分内容不仅是高中数学的重点，而且是要求同学们熟练运用和掌握的部分。在学习中我们不仅要对等差数列和等比数列的基本性质熟记于心，而且要对两种数列的性质和特点进行彻底深入的研究，特别是运用某些递推关系求数列的通项这一类问题，就含有一些高等数学的思想，其中用特征方程求数列通项就是典型内容之一。

四、等式、不等式和最值问题

方程思想是代数的重要内容，也是重要的数学方法，很多数学问题都可以转化为方程问题来解决。但是方程思想的运用，并非仅限于列方程或方程组求解，有关方程的知识在各类数学问题中都有着广泛的应用。其中一元二次方程根的判别式在这部分内容中运用得特别广泛，而且经常与函数相联系，由于它有大于零、等于零、小于零的三种情况，分别决定了方程两实根的相异、相同或不存在，这就使我们能运用这一知识解决一些与不等式相关的问题，如不等式、字母或式子的取值范围、函数的值域、变量的最大值或最小值，一些恒等式的证明等。在运用这一知识解证不等关系的问题时，应先根据题意，建立一元二次方程，然后再运用根的判别式解答。

运用一元二次方程的知识解决不等关系问题时，一般分成两步：第一步，建立一元二次方程——从相等关系入手，建立方程的方法很多，可以将已知等式中的某一字母作为主元，把原式化成关于该主元的一元二次方程；可以将条件给出的代数式设为某一字母，构成等式，再转化成一元二次方程；可以由已知中所含的两数和、两数积，根据一元二次方程根与系数的关系构造方程；也可以根据题意或几何图形，运用相关知识列出方程等，方法因题而异。第二步，由方程的根为实数，确定判别式为正或者负，转化为不等关系，再由此推出结果。

五、不定积分问题

一般来说，解不定积分的常规方法只有三种，即直接积分法、换元法和分部积分法。这三种方法基本上能够解决大部分有关不定积分的问题，因此解决这类问题时通常用这三个原则。解不定积分题的技巧性和灵活性较强，公式也多种复杂，因此求解积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得，而且三种方法都渗透了方程思想的应用。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。

求解不定积分时最常用的是直接法，这种方法要求同学们熟记积分公式，进而可以对公式进行灵活、变换，达到化简的目的，化归思想在这部分得到了充分运用。反过来说，对化归思想方法的应用掌握之余，温故积分知识中的基本公式也很重要。

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