巧用基本图形解直角三角形应用题

杨明远

解直角三角形的应用一直以来都是数学中考的热点问题，学生需要将一些实际问题抽象成数学模型，通过逻辑推理并应用相关知识，找出数学模型的解，进而解决实际问题.对这一类型问题的练习，有助于发展学生运用数学知识分析问题、转化问题、解决问题的意识和能力，让学生进一步感受到数学的价值，有利于提高他们对其他问题的分析及解决能力.

解决此类问题的关键，是确定或构造直角三角形，借助边角之间的关系，利用锐角三角函数、勾股定理或者列方程等方式加以解决.通常在一些问题中给出的图形是一个包含特殊角的非直角三角形，这就需要通过添加辅助线，将其转化为学生所熟悉的含有特殊角的直角三角形，进而根据已知的边角关系求出未知量.在遇到非直角三角形的情况时，对一些基本图形的掌握是否熟练往往决定了能否快速有效并准确地解决问题.

在（Ⅰ）和（Ⅱ）两种情况中，作一条高即可将原三角形分解成两个含有一条公共直角边的特殊直角三角形.根据已知边和角，依次解两个直角三角形，或通过设立未知数，列方程，最终求出其余边长.

而（Ⅲ）至（Ⅴ）三种情况，亦可通过作高，将原钝角三角形补成直角三角形，该直角三角形由两个含有一条公共直角边的特殊直角三角形重叠而成，求未知边长的方法与（Ⅰ）、（Ⅱ）相同.

只要能熟练掌握以上五种基本图形，将实际问题转化成适当的数学模型，并在模型中找出对应的基本图形，很多难题就迎刃而解.下面就近几年苏州中考试题中的解直角三角形应用题，列举两例作简单分析.

例2：如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处.此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离.

综上，在遇到解直角三角形应用题时，有意识地在数学模型中寻找自己所熟悉的基本图形，就可以化繁为简，省时省力，达到事半功倍的效果.当然，以上例题亦可用其他方法加以解决，在此不一一列举.