关于中职“三角函数的诱导公式”教学的点滴思考

俞靓文

摘 要： 《三角函数的诱导公式》是中职生一年级所学习的内容，在学习过程中许多学生在公式的记忆和综合运用上存在困难，在解题时公式运用错误率较高.针对以上情况，作者结合教学实际，对本节内容进行了思考，要有效解决以上学生的学习困难和提高学生解题正确率，需从两方面入手——强化和细化对公式的概念教学和加强对公式运用方法的总结与反思.

关键词： 三角函数诱导公式 概念教学 总结与反思

《三角函数的诱导公式》是江苏省职业学校文化课教材《数学》第一册第五章《三角函数》第五节的内容.通过本节内容的教学，要求学生理解诱导公式的推导方法，并能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值和对简单的三角函数式进行化简.由于中职生和高中生相比，相对的基础知识和接受能力能力、思辨能力、逻辑推理及归纳能力都要稍逊一筹，因此在现实教学中，在运用三角函数的诱导公式进行解题的正确率往往较低.主要存在以下两个问题：1.学生对公式会记忆背诵，但没有深刻理解和掌握“三角函数诱导公式”概念本质，知其然而不知其所以然；2.学生会运用单独公式进行解题，但没有掌握通过综合运用三角函数诱导公式求三角函数值和化简的方法.如何通过课堂有效教学较好地解决这两个问题，是数学教师需要解决的问题.针对中职学生能力的实际状况，笔者认为应该从以下方面入手。

1.强化和细化对公式的概念教学

学生学习的数学概念是随着学生对数学知识的不断深化在不断发展完善，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，注重体现基本概念的来龙去脉，有利于学生掌握概念的本质.在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.学生只有深刻理解和抓住了概念的本质属性，才能一般性地认真分析诱导公式，不论如何题目如何变化，都能正确使用.

1.1创设情境，激发学生的学习兴趣

数学概念的引入，一定要坚持从学生的认识水平出发，要密切联系生产生活实际.紧紧围绕主题充分激发学生的兴趣和学习动机.为学生顺利地掌握概念起到奠基作用.

首先从任意角的三角函数的定义出发，教师图示并引导学生思考回顾任意角的三角函数的定义，使学生通过对原有知识的回忆和直观观察，通过提出问题：α+2kπ与α的三角函数关系是怎样的？建立了学生对学习内容的感性认识.根据学生认知规律，结合新课教学的特点，以问题为载体，通过问题：终边相同的角的特点是什么？OM除了是角α的终边外，还是哪些角的终边？将OM逆时针旋转k周（k∈Z），sinα，cosα，tanα是否改变？层层深入，以学生活动为主线，让学生的思维“动”起来.从而启发学生进行思考和讨论，并探究出诱导公式（一）sin（α+k·360°）=sinα，

弧度制表示成：cos（α+k·360°）=cosα，（k∈Z）tan（α+k·360°）=tanα.sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，（k∈Z）tan（α+2kπ）=tanα.

1.2在展示知识的产生发展过程中认识概念

数学概念是人们对客观事物不断抽象的结果，它的形成和发展是一个渐进的过程.人们在对周围客观事物的认识中，通过感知，运用比较分析综合抽象概括等一系列逻辑方法，抓住事物的本质属性而产生数学概念.

由于诱导公式具有一定的抽象性，因此在推导第二组诱导公式时，采用数形结合的方法，先由具体的角度出发，对比30°角与-30°角的各三角函数值之间的关系：

再使学生探讨α和-α之间三角函数值之间的关系，推广到一般形式，使学生经历由特殊到一般的思维过程；体验了层层深入，推导出公式的过程；深刻体验了由数量关系到形的关系再到数量关系的转化过程。学生根据三角函数的定义易得：

在推导第三组诱导公式时，通过提出系列问题：sin30°的值是，那能否求出sin210°的值？两者之间有没有什么关系？相应的，它们的余弦值和正切值有没有什么关系？在使学生体会运用渗透化归和数形结合的方法的同时，使学生自主从具体形象的角之间关系推导出三角函数值之间的关系，再从三角函数的定义予以验证，最后推广到一般情况，从而使学生能够从根本上掌握诱导公式的本质属性，并且学生通过积极主动地参与公式的课堂学习，从而有利于提高分析问题、解决问题的能力.

推广到一般形式：

1.3强化对三角函数诱导公式概念的理解

在学生已经体验诱导公式推导过程的基础上，引导学生比较三角函数诱导公式概念间的横向与纵向的联系，体验三角函数诱导公式概念的内涵和外延结合学习.第四组诱导公式既是通过由直接抽象的推导公式到具体的角度加以验证应用的同时，又是再次深化学生对几组诱导公式的本质的理解和思考，进而加深对新概念的理解.

通过以上细化三角函数诱导公式的教学，可以丰富学生的认知结构，扩大三角函数知识的记忆库，建立公式概念的系统性，帮助学生分清同类公式概念之间的各种关系，进而使学生能够自然而然地在教师的引导下得出四组诱导公式的记忆方法，即“函数名不变，符号看象限.——记角α为锐角”，而不是机械记忆.为能够有效避免学生只会背公式却不知如何运用公式和在运用时公式出现错误打下了坚实的基础，完善学生的三角函数知识结构，培养学生应用三角函数公式概念解决问题的能力.

2.加强对公式运用方法的总结与反思

2.1注重公式运用教学过程中的递进性

运用数学概念解题的过程一方面是帮助学生深刻理解和巩固掌握的所学概念的过程，另一方面是对学生所学概念的检验过程.因此，当学生对三角函数四组诱导公式的概念形成之后，便可通过具体例子，引导学生利用诱导公式解决数学问题和发现诱导公式在解决问题中的作用.但是如何综合运用三角函数诱导公式求三角函数值和化简往往是学生解题的困难所在，教师对例题选取的是否合理得当则是完成这一教学过程和解决这一问题的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对三角函数诱导公式的巩固，以及运用诱导公式进行解题能力的形成.因此，在教学过程中教师要注重所选例题在公式运用上的递进性，逐步引导和帮助学生掌握运用公式规律，以免造成在综合使用公式求三角函数值和化简时，对公式应用的混乱和错误.

2.2注重运用公式解题后的总结与反思

涂荣豹先生说：“反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复而是深究数学活动中所涉及的知识方法思路策略等”.涂先生强调：“传统学习是操作性数学学习，是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动，这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解，进行的自动化的直觉的操作活动.反思性数学学习的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活动的经历中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的智慧，并在活动所涉及的各个方面的相互作用下，产生超越已有信息以外的信息.反思性数学学习的优势是可以帮助学生从例行公事的行为中解放出来，帮助他们学会数学学习.”因此，教学过程中，教师应合理选取例题，在运用公式进行解题之后，使学生在教师的有效引导下，对解题过程和三角函数诱导公式的使用方法、规律进行深入的思考和总结，使学生自己总结概括出在应用三角函数诱导公式求三角函数值的规律方法：

在应用三角函数诱导公式化简时的规律方法是：切化弦（或弦化切），高次化低次，异角化同角，异名化同名.

这样长此以往，不仅能使学生加深对三角函数诱导公式的理解、巩固知识和灵活应用，避免解题错误，还能把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为学习过程，提高学生的分析问题、解决问题的能力，优化他们的数学思维，达到融会贯通的境界.

参考文献：

[1]林培锦.反思性教学实施的问题与思考[J].教育理论与实践，2007（9）：58-60.

[2]涂荣豹.数学教学认识论.南京师范大学出版社.

[3]邵瑞珍等.教育心理学[M].上海：上海教育出版社，1983：94.