渗透分类思想，强化分类意识

叶玉妹

摘 要： 分类讨论的思想方法在初中数学学习中有广泛应用.数学概念中的分类讨论，性质定理中的分类讨论，开放条件中的分类讨论，图形变化中的分类讨论，定理证明中的分类讨论等，在教学过程中，应该有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现，适时渗透，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯.

关键词： 数学思想 分类讨论思想 数学素养 分类意识

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等.在这些基本思想方法中，分类讨论的思想由于初中学生认知能力、思维习惯、知识水平和教学内容的限制，学生在运用过程中感到特别困难，但分类思想在中学数学中又有极其广泛的应用，有必要对其加以重视.下面我们就看一看这种数学思想方法在初中数学教材中有哪些应用，以便更好地利用数学教学提高学生的素质，使学生在今后的学习、生活中运用这种数学思想方法解决遇到的实际问题.

一、数学概念中的分类讨论

在初中教学内容中，一些数学概念的定义，如绝对值的化简，一元二次方程根的判别式等，都渗透着分类讨论的数学思想.

案例1：解方程|5+x|-|3-x|=8.

析题：对于绝对值的问题要讨论绝对值符号里的数的正负，在|5+x|中有x﹥-5，x=-5，x﹤-5三种情况.在|3-x|中也有x﹥3，x=3，x﹤3三种情况，综合以上三种情况本题可以分为：

（1）当x﹥3时，方程变形为（5+x）-[-（3-x）]=8恒成立，满足x﹥3的数都是它的解.

（2）当-5≤x≤3时，方程变形为5+x-（3-x）=8，解之得x=3.

（3）当x﹤-5时，方程变形为-（5+x）-（3-x）=8，-8=8，与事实不符，方程无解.所以原方程的解是x≥3的一切实数.

二、性质定理中的分类讨论

在数学解题教学中，有些数学定理、公式或性质、法则是有条件或范围是限制的，需要分类给出.

案例2：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是实数）.如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值.

析题：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0和m-1≠0两种情况研究解决.

当m=l时，函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点；

当m≠1时，△=（m-2）2+4（m-1）=0，得m=0，抛物线和x轴只有一个交点.

三、开放条件中的分类讨论

有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，就会时常发生漏解现象.

案例3：甲乙两人分别从相距30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.

析题：经过3h后相距3km应该分两种情况：（1）当3h后甲、乙两人未相遇前相距3km；（2）当3h后甲、乙两人已相遇后相距3km.

四、图形变化中的分类讨论

分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法.线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形中边或角不确定等，都需要我们正确运用分类讨论的思想加以解决.

1.等腰三角形的分类讨论。

案例4：（1）已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，则它的周长等于？摇？摇？摇？摇 ？摇.

析题：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以要进行分类讨论.

（2）已知等腰三角形的一个内角为70°则其顶角为？摇？摇？摇？摇？摇.

析题：等腰三角形中对给出的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以要进行分类讨论.

（3）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求等腰三角形顶角的度数.

析题：依题意可画出图1和图2两种情形，分别为45°和135°.

2.直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论。

案例5：已知3和4为直角三角形两边的长，则第三边的长为？摇？摇？摇 ？摇？摇.

由于3和4是直角边长还是斜边长没有明确，因此4可以是直角边也可以是斜边，需要分类讨论.

3.相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类讨论。

案例6：如图3所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为？摇？摇？摇 ？摇？摇.

五、定理证明中的分类讨论

在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部和角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明.先证明圆心在圆周角的一条边上这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明情况分别解决圆心在圆周角的内部和外部这两种情况，这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法.

总之，数学中的分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性和科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.教师在制定教学目标、采用教学方法时，应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现，适时渗透，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯，便于学生在以后的学习过程中正确运用这种思想方法解决好数学问题，并使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，同时还可以培养学生的观察能力和全面思考问题的能力，这样才能全面提高学生的数学素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]黄尖.初中数学教材中分类思想的探讨.