数感：数与现实联系的桥梁

邵文川

摘 要： 数感是我们既熟悉又陌生的概念。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。为了实现数与现实的连接，更好地发展学生的数感，这就要求教师在教学过程中紧密结合教材，灵活运用沟通联系、情境体验、多元表征、算法多样、建构模型等教学策略，加强对学生数感的培养，把数感的培养落实到日常教学活动中。

关键词： 数感 联系 体验 表征 模型

人们在日常生活中常常要与各种各样的数打交道，这时总会有意识地将一些现象与数量建立联系，如走进一个会场，在我们面前的两个集合，一个是会场的座位，一个是出席的人。有人会自然地将这两个集合做一下比较，不用计数就可以知道这两个集合是否相等，哪个集合大一些，大到什么程度，这就是数感在起作用[1]。

数感是我们既熟悉又陌生的概念。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中关于数感的论述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

可见，数感强调的是一种感悟。在日常的数学教学活动中，我们不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还要让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”[2]。可见，数感是将数学与现实问题建立联系的桥梁。

那么，在日常教学中如何实现数与现实的连接，更好地发展学生的数感呢？结合多年的教学实践，我认为可以运用沟通联系、情境体验、多元表征、算法多样、建构模型等教学策略，加强对学生数感的培养。

一、沟通联系，建立数感

数学是一门抽象的学科，所有数学知识都是经过抽象得到的。例如，现实生活中不存在纯粹的点、线、三角形，它们都是从客观世界中大小不一的点、粗细不同的线、形状各异的三角形物体中提取出的“理想化”的思维产物。因此，在数学教学中，我们要善于将数学与实际背景联系起来，沟通数学与现实生活的联系。

如，人教版一年级数学上册“1—5的认识”。

教学时，首先要让学生感受到，每个数都是在数几个具体的人或物的基础上抽象出来的。如教学“1”时，要让学生数1个奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米等；教学“2”时，要让学生数2只鹅、2个盘子、2个筐等。学生通过数物体，亲身经历知识的形成过程，感悟到抽象出的“1”和“2”来源于客观世界，学习到的数学知识是客观事物的“理想化”的思维产物。同时还要让学生体验到数学知识从抽象回到具体的过程。如当学生认识了1—5之后，可以让学生分别拿出数量是1、2、3、4、5的小棒并用数量2、3、4、5的小棒，摆出自己喜欢的图形，然后在全班展示、交流。这样的教学，能及时将数学知识应用到实际生活中，让学生感悟到抽象出来的数与数量是有联系的。

上述教学过程，可以帮助学生完成由具体到抽象，再由抽象到具体的认知过程，实现数与现实的联系，让学生很好地建立数感。

二、情境体验，丰富数感

数学来源于生活，培养学生的数感离不开学生的生活经验。教学时，我们要从学生生活经验入手，创设与知识背景相关的生活情境，让学生在具体的实物数量或问题情境中充分感知、积极体验、主动建构，从而使学生更具体更深刻地把握数概念，更好地丰富学生的数感。

【案例1】[3]

在教学人教版二年级下册“认识1000”时，由于二年级学生的生活经历还不十分丰富，认识1000这个较大的数还是比较困难的，因此可以把认识1000作为认识大数的开始。此时可以组织一次综合与实践活动。

课前先把班级学生分为六个小组，每两个小组承担下面任务之一。

A组通过调查说明：1000是一个不大的数；

B组通过调查说明：1000是一个不小的数；

C组通过调查说明：1000是一个很大的数。

课前引导每一个小组制订调查计划，并且在课前完成调查。在综合与实践课上，让每一小组介绍调查的结果，并且发表感想。无论是制订计划还是发表感想，教师都应当加强指导。比如，学生可以制订下面的计划、发表相应的感想：

承担第一项任务的小组，可以计划：数出1000粒小米、大米或者黄豆，发现并没有想象的那么多；测量1000毫米的距离，发现1000毫米并不很长。

承担第二项任务的小组，可以计划：到超市调查1000元钱可以购买的东西，发现数量比较大、或者东西比较贵重，知道1000元钱不少；测量1000米的距离，发现1000米并不短。

承担第三项任务的小组，可以计划：从楼房的高度推测1000米的山有多高，发现1000米的高度很高，还可以进一步调查本省高于1000米的山峰有多少；从停车场一辆汽车所占面积推测1000辆汽车所占面积，发现占地面积相当大。

在学生汇报的基础上，教师的总结：同样是1000这个数，用在不同的情境给人的感觉是不一样的，因此在实际生活中应当把数与数所表达的情境结合起来。

这样的实践活动，让学生在现实背景中充分感知、深刻体验到生活中的数，通过1000感悟生活中的大数，丰富了学生的数感。

三、多元表征，增强数感

当知识被从现实原型抽象出来时，就形成知识的内核，同时也就失去了知识形成过程的火热活动。如何对知识进行深刻的理解，即赋予意义，只有将其纳入学习者的认知结构中才能实现，这个过程的消化吸收，离不开对知识的多元表征。教学中，要尽量引导学生对知识进行多元表征，形成自己独特的理解，进行个性化的知识建构，才能促进学生对知识实质的思考。

如，教学人教版一年级上册“比大小”时，当学生在“谁能通过摆一摆、排一排，让别人一下子就能看清楚猴子分别和三种水果的多少情况？”这一问题的启发下，摆出有序的象形统计图时（如图1），教师应及时启发学生用不同形式表征比较的结果：首先可以用文字表征比大小的结果（如图2），这样能够沟通文字与图形之间的关系；接着可以用符号表征比大小的结果（如图3），这样能够沟通符号与文字、图形之间的关系。

图1 象形统计图

图2 文字表征

图3 符号表征

通过对“比较结果”的多元表征，促使学生更全面深刻地把握住“比大小”的实质，增强了数感。

再如，人教版三年级上册“几分之一”。教学时，可以先按教材创设的情景，在4次平均分物活动过程中，依次画出图示，再分别给出分数1/2、1/4、1/3、1/5的“符号”；接着再让学生进行实践活动：拿一张正方形的纸折一折，表示它的1/4。反观这一教学过程，可以发现执教者能充分考虑操作、图形、符号等表征方式的关系，并注重它们之间的转换，既帮助学生读懂操作过程和图示，会用符号表示；又能根据符号，用操作活动和图示进行解释。

学生通过不同的方式表征同一概念的能力，即表征转换能力，代表学生对概念的理解水平。教学时，教师要积极引导学生，通过多种表征方式，建构个性化的知识，提升思维品质，增强数感。

四、算法多样，培养数感

在解决问题的过程中，由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。教学时，教师要尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡算法多样化。

如，教学一年级上册“8+9”例题时，可以先出示8+9，放手让学生独立计算，然后汇报交流、展示多种不同的计算方法（三种不同的计算方法：把8凑成10；把9凑成10；根据9+8=17，想出8+9=17的算法）。通过同学之间的交流互动，让学生了解计算的多种方法，实现知识的自主建构，培养了学生的数感。

又如，在解决“星光小学有25个同学到游乐场游玩，游乐场里每架空中飞机最多可乘坐4人，他们想同时乘坐空中飞机，至少需要乘坐几架空中飞机？怎样乘坐合理？”这一现实生活问题时，因为学生已经具有乘坐空中飞机的生活经验，所以在解答本题时，学生并不是简单地计算25/4=6……1，而是能够主动结合问题的实际背景，深刻地领悟到商6和余下的1的具体含义，即6表示6架空中飞机，1表示如果6架空中飞机都坐满4个人，还剩1个人也需要一架空中飞机，因此需要7架空中飞机才可以。同时在面对这个实际问题时，这只是一种解决问题的方法，还可以有4架乘坐4人，3架乘坐3人；或5架乘坐4人，1架乘坐3人，1架乘坐2人等解决方法。像这样，学生在解决实际问题的过程中，能结合具体的问题情境选择恰当的算法，切实了解计算的意义和如何运用计算的结果，很好地培养了数感。

五、建构模型，发展数感

《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别重视培养学生的“四能”，即“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情景中提出问题，找出数学模型，需要具备一定的数感，需要学生在遇到具体问题时，能自觉主动地与一定的数学知识建立联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型。

如，学习了“比和比例”的知识后，张老师在一个晴天的上午第四节课将全班学生带到操场上，指着高高的旗杆问学生：“谁能知道我们学校旗杆的高度？”这是一个实际问题，如果学生不能自觉地将问题与学过的解比例的知识建立联系，建构与实际问题相联系的数学模型，就无法顺利地解决问题。此时，有的学生猜测旗杆高度可能有10米、15米、20米；有的学生认为可以爬上旗杆的顶部，从顶部垂下绳子进行测量；有的学生认为干脆把旗杆放倒后再测量……更多的同学摇摇头，表示无从下手。这时，张老师把早已准备好的一根2米长的竹竿笔直地立在操场上，地上立即出现竹竿的影子，然后启发大家观察竹竿的长与影子的长有什么关系？同学们开始议论纷纷，有的同学立即联想到刚学过的“比和比例”的知识，很快就找到解决问题的方法。

将实际问题先转化为数学问题，再联想数学模型解决，让学生学会“数学地”思考问题，把数感的建立与数量关系的理解及数学模型结合起来，长期坚持这样教学，必定能发展学生的数感，提升学生的整体数学素养。

综上所述，数感的培养有利于沟通数学与现实生活的联系，有利于学生数学地理解和解释现实问题，有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。当然，学生数感的建立不是一蹴而就的，而是在学习过程中逐步体验和建立起来的。因此，我们在日常教学过程中，要紧密结合教材，灵活运用沟通联系、情境体验、多元表征、算法多样、建构模型等教学策略，加强对学生数感的培养，让数感的培养真正落实到日常教学活动中。

参考文献：

[1][美]T.丹尼克.数——科学的语言[M].北京：商务印书馆，1985.

[2]史宁中.小学数学核心问题：基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013.5.

[3]史宁中.小学数学核心问题：基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013.5.