中考试卷中“一元二次方程”试题的分析

张亚东 刘家源

摘 要： 为了了解中考数学“一元二次方程”试题的命题特点和规律，本文主要对2009-2014年兰州市中考数学试题进行了对比分析，从而得到在各地中考试题中，一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系的考查多以选择题和填空题的形式出现，而方程的解法及其应用多以解答题的形式出现，试题难度不大，题量约3-5题，分值约占6%～10%，并对常考内容进行了归纳整理.

关键词： 一元二次方程 中考试题 备考指导

一元二次方程及其应用是初中数学的重要内容，也是中考命题的重点和热点之一，下面从四个方面对一元二次方程常考内容加以叙述，期望在教师日常教学和学生复习备考中提供参考和建议.

一、一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想就是降次，一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.其中公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基础，直接开平方法、因式分解法解某些特殊的一元二次方程方程非常简单，掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.

（1）直接开平方法：形如（x±m）■=n（n≥0）的一元二次方程就用直接开平方法求解.

（2）因式分解法：可化为a（x+m）（x+n）=0（a≠0）的方程用因式分解法求解.

（2012·兰州·第21题·6分）已知x是一元二次方程x■-2x+1=0的根，求代数式

■÷（x+2-■）

的值.

（3）公式法：求根公式为x=■（b■-4ac>0）.

（2014·兰州·第21题（2）·5分）当x为何值时，代数式x■-x的值等于1.

（2013·兰州·第21题（2）·4分）解方程：x■-3x-1=0.

（4）配方法：若ax■+bx+c=0（a≠0）不易因式分解，可考虑配方为a（x+h）■=k（a≠0）再用直接开平方法求解.

（2013·兰州·第8题·4分）用配方法解方程x■-2x-1=0时，配方后所得方程为（ ）

A.（x+1）■=0 B.（x-1）■=0 C.（x+1）■=2 D.（x-1）■=2

（2011·兰州·第10题·4分）用配方法解方程x■-x-5=0时，原方程应变形为（ ）

A.（x+1）■=6 B.（x+2）■=9 C.（x-1）■=6 D.（x-2）■=9

（2009·兰州·第21题（2）·5分）用配方法解一元二次方程：2x■+1=3x.

备考指导：解一元二次方程时，首先要观察分析方程的特点，然后选择合适的方法解题，有些方程解法不唯一时，一般按照“直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法”的顺序选择.值得注意的是解形如（x-2）（2x+1）=3（x-2）一元二次方程时易丢根，有些同学同时除以x-2，走进了失根的误区，最后需牢记一元二次方程的求根公式和配方法的一般步骤.

二、一元二次方程的根的判别式

（2014·兰州·第10题·4分）一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b■-4ac满足的条件是（？摇？摇）

A. b■-4ac=0？摇？摇？摇？摇B. b■-4ac>0 C. b■-4ac<0 D.b■-4ac≥0

（2013·兰州·第17题·4分）若|b-1|+■=0，且一元二次方程kx■+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是？摇 ？摇.

（2010·兰州·第16题·4分）已知关于x的一元二次方程（m-1）x■+x+1=0有实数根，则m的取值范围是？摇 ？摇

备考指导：这类问题往往是与一元二次方程的定义相结合考查的，而考生易把二次项系数不为零这一隐含条件忽略，所以在牢记一元二次方程ax■+bx+c=（a≠0）根的情况与根的判别式b■-4ac的关系b■-4ac>0？圳一元二次方程有两个不相等的实数根；b■-4ac=0？圳一元二次方程有两个相等的实数根；b■-4ac<0？圳一元二次方程没有实数根）的基础上，必须考虑二次项系数不为零.

三、一元二次方程根与系数的关系

（2012·兰州·第27题·10分）若x■、x■是关于一元二次方程ax■+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x■、x■和系数a、b、c有如下关系：x■+x■=-■，x■·x■=■.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax■+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点为A（x■，0），B（x■，0）.利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：

AB=|x■-x■|=■=■=■=■.

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax■+bx+c（a>0）的图像与x轴的两个交点A（x■，0）、B（x■，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形.

（1）当△ABC为直角三角形时，求b■-4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b■-4ac的值.

（2009·兰州·第19题·4分）阅读材料：设一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）的两根为x■，x■，则两根与方程系数之间有如下关系：x■+x■=-■，x■·x■=■.根据该材料填空：已知x■、x■是方程x■+6x+3=0的两实数根，则■+■的值为？摇 ？摇.

备考指导：首先牢记一元二次方程根与系数的关系：若x■，x■是a■+bx+c=0（a≠0）的两根，则有x■+x■=-■，x■+x■=■，其次在此基础上能对下列各代数式进行灵活变形：

x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■；■+■=■；（x■-x■）■=（x■+x■）■-4x■x■；

■+■=■=■.

四、一元二次方程的实际应用

随着新课程、新课标的实施，素质教育的不断深入，与我们生产、生活有关的应用问题不断渗透到数学中，从而出现了一些融入新理念，设计新颖，创设新情境的实际问题，加强了对学生实际应用能力的考查.一元二次方程就是解决这类实际问题的一种有效模型，列一元二次方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决，利用一元二次方程解决实际问题的关键是在透彻理解题意的基础上准确找出已知量与未知量的关系，这样才能恰当地设出未知数.分析等量关系时，应抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰，剔除实际背景的文字叙述呈现数学化的形式，列出一元二次方程，求出一元二次方程的根后一定要根据具体情况进行检验，把不符合实际意义的方程的解舍去，进而达到求解的目的.再者要善于将应用题分类，现把近几年一元二次方程常见题型列举如下：

（1）平均增长（降低）率型

（2013·兰州·第10题·4分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为，根据题意，所列方程为（ ）

A.7600（1+x%）■=8200 B.7600（1-x%）■=8200

C.7600（1+x）■=8200 D.7600（1-x）■=8200

（2010·兰州·第12题·4分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是（ ）

A.168（1+a）■=128 B.168（1-a%）■=128

C.168（1-2a%）=128 D.168（1-a■%）=128

（2009·兰州·第7题·4分）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机.受金融危机影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ）

A.200（1+a%）■=148 B.200（1-a%）■=148

C.200（1-2a%）=148 D.200（1-a■%）=148

备考指导：解决这类有关平均增长（降低）率的问题的关键是准确掌握基本关系式b=a（1±x）■，其中a为增长（降低）的基础数量，x为增长（降低）率，n为增长（降低）的次数，b为增长（降低）后的数量，解这类一元二次方程适合用直接开平方法，最后注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

（2）几何型

（2014·兰州·第19题·4分）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为？摇 ？摇.

（2012·兰州·第10题·4分）某学校准备修建一个面积为200m■的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为（ ）

A.x（x-10）=200 B.2x+2（x-10）=200

C.x（x+10）=200 D.2x+2（x+10）=200

备考指导：几何型问题多以面积为主，解决这类面积问题的关键是熟记特殊图形的面积公式，其次会将不规则的图形分割或割补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出一元二次方程.

（3）送照片、握手型

（2011·兰州·第11题·4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）

A.x（x-1）2070 B.x（x+1）=2070

C.2x（x+1）=2070 D.■2070

备考指导：每个人送照片的张数是总人数减1，所有人送照片的总张数是总人数乘以总人数减1，所有人握手的总次数恰是所有人送照片的总张数的一半.

（4）销售利润型

（2013·广东汕头澄海·第21题·7分）“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元.“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）降价后每件商品盈利？摇 ？摇元，商场日销售量增加？摇 ？摇件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2240元？

备考指导：解决销售利润问题的关键是掌握利润问题中常用的关系式，特别是总利润=每件的利润*销售量.

以实际问题为背景的题目，主要考查阅读能力和理解能力，此类题能够培养我们利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现数学在现实生活中的应用价值，体会设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去.以上例子都是近几年运用一元二次方程解决实际问题的中考试题，综观上述各种问题的解法，我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审清问题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解一元二次方程并检验解的合理性.

通过以上分析总结，得出了一元二次方程在中考中的命题规律，希望能为以后一元二次方程的教与学和复习备考提供参考意见.

参考文献：

[1]毛文凤.讲透教材[M].北京：北方妇女儿童出版社，2009.

[2]张奠宙，张广祥.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社，2006.