基于经验积累 凸显数学思考

高巍

【关键词】活动经验 分数的意义 教学实践 教学思考

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）07A-

0038-04

数学的基本活动经验是指在学生参与数学学习的活动中积累起来的。相对于数学基础知识和丛本技能等显性学习而言，基本活动经验的积累具有隐性的特征。数学基本活动经验的积累，有利于学生理解知识的来龙去脉，掌握数学思维方法，体验并领会数学思想，从而形成比较完整的数学认知结构，有效提升数学素养，对后续学习和发展产生积极影响。本文中笔者将结合《分数的意义》的教学实践与思考，具体阐述让学生积累数学基本活动经验的操作方法。

一、聚焦学生，发现问题

分数在拉丁文里来源于FRANGERE，是打破、断裂的意思，曾被人叫做是“破碎数”。在欧洲，分数被认为是最难的数学内容。现在，德国人形容某个人陷入困境时，常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里了”。教学数学多年的教师一定也会有这样的感觉，学习分数对于孩子们来说的确很困难，特别是后面学到分数、百分数应用题时，更是错误连连。对于分数，我们有着太多的疑问——

问题一：分数是一个数吗？它来自哪里？人类历史上最早产生的数是自然数，但度量或均分不能用整数表示时，便产生了分数。分数首先是一个能计量具体大小的数。但我们不难发现：孩子们在解应用题时，如果最后答案是分数的话，他们常常习惯于将分数转化为小数来表示。笔者曾让学生做过这样一组题目：3个的是（ ）个；6个的是（ ）个；1个的是（ ）个。最后一题孩子往往不会用来表示，而是不厌其烦地算出0.333333……为什么孩子会觉得分数不是一个“数”呢？生活中不常用，或者说学生的学习缺乏情景的支撑和生活的经验是主要原因之一，还有其他的原因么？

问题二：分数的意义是什么？它有哪些内涵呢？把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。各种版本的教材，都对分数的意义做了如此明确的阐述，理解和记忆这样的一个概念本身对于学生没有任何问题。但是学生真正理解和掌握了分数的意义是什么了吗？这里所说的“表示这样一份或几份的数”到底是一个具体的量，还是部分与总体的一种关系呢？

问题三：单位“1”是什么？如何确定单位“1”？孩子们在三年级初步认识分数时，单位“1”表示的都是一个物体，而在五年级再次认识分数时，发现单位“1”除了可以表示一个物体，还可以表示一个整体（一些物体）。为什么同样大小或者同样长度的物体可以是，还可以是？分数应用题是学生学习的一个难点，而正确找出单位“1”是解题的关键。我们应该怎样引导学生形成寻找单位“1”的意识，从而让学生将分数与单位“1”紧紧地联系起来呢？是否在学生理解分数的意义时就应该落实呢？

二、聚焦问题，探究原因

（一）学习材料的合理选择与适时抽象

人教版教材中，两次的认识分数都呈现了圆片、线段、香蕉等直观的教学材料。这些直观图示的呈现，为教师与学生提供了丰富的学习资源，激发了孩子们的形象思维、唤起了孩子们的生活体验，为进一步发展孩子们的抽象思维奠定了基础。但是，教师的教、学生的学往往也仅停留在这一直观层面上，具体表现为学生对分数意义的表述需要借助于具体物的表述，而无法抽象到数的表述。究其原因，教师过于注重直观教学，而忽视了抽象教学。由于这种抽象没有建立在直观基础上，因而学生无法建构数的概念。

另外，教师在教学中提供给学生的学习资源和学生用来操作的素材往往是指向于帮助学生理解分数的“部分与整体”这一关系的情景与材料，即引导学生参与分的过程，从而体会分子与分母的“部总”关系，往往忽视了分数作为一个数的意义来理解。孩子们缺少这方面的活动经验与直观感受，当然无法建立分数意义的完整概念。

（二）分数来源的处理方式与适时呈现

在教学分数时，分数产生的来源往往被教师忽略。而纵观各种版本教材，苏教版、北师大版教材中都没有分数产生这一内容，只有人教版教材在分数的再认识时加入了分数产生的素材（分数产生的真正根源在于测量）。那么，分数的产生是否可有可无呢？笔者认为，分数的产生是学生学习分数意义的前提，忽视了分数产生的来源，学生就缺少了学习分数的兴趣与动力，也不利于学生深入地理解分数，最终导致学生缺失了对于分数本是一个数的初步感知。

（三）单位“1”的概念内涵与来历体验

分数的意义中的单位“1”是个抽象难懂的概念，也是引导学生对分数意义理解的关键所在。在现有的教学中，教师们只关注到什么是单位“1”，并将其作为这节课的教学重、难点不厌其烦地举例示范，反复强调什么是“一个整体”，力求在操作中让学生掌握单位“1”的概念。但是，这样就可以了吗？正如前面提到的“不让孩子了解分数的产生，那么孩子对于分数意义的理解一定也是片面且浅显的”，教师们总是帮助学生设定好单位“1”，只需要学生考虑平均分成几份取几份就可以了，而恰恰忽略了对学生设定单位“1”能力的培养，即忽略了单位“1”的来历。能否顺利地找出单位“1”是学生后续学习分数应用题的关键，教师对单位“1”来历的简单处理或置之不理为孩子的后续学习埋下了隐患。

三、关注过程，研究策略

（一）找准学习起点，为深入探究寻找原有经验

数学课程标准指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。“以生为本”是新课程改革的核心理念。因此，教学必须建立在学生已有的经验基础上，找准孩子们的学习起点和已有的活动经验。

学生通过三年级分数的初步认识，已经具有了以下学习基础：一是已经初步了解分数产生的根源——一个物体的一部分用整数表示不了时用分数表示。其实分数产生的真正根源在于测量。在本节课中笔者设计了“了解分数的产生及发展”的教学环节。通过视频讲解，孩子们再次感受分数产生的真正原因及发展演变过程，从而完善对分数意义的理解——分数首先是一个与整数、小数一样的数；它还可以表示部分与整体间的关系。二是已经历了把一个物体或图形平均分后产生分数的过程。在学生已有的认知中，分数表示的是“一个物体或整体”的几分之几，所以单位“1”在学生初步认识分数时是隐性的。面对一个分数，学生更关注“平均分成几份”而很少关注这个分数表示“谁的几分之几”。对此，笔者让孩子们结合“”说说已经知道的有关分数的知识，目的是激活学生的原有认知，从而了解学生对于分数的理解情况。对学生进行了初步了解之后，笔者设计了“在9个圆中任意选取几个圆表示分数”的教学环节，意在引导学生利用原有知识经验解决问题，进而关注“把谁看作一个整体”，突出本节课的教学重点——确定单位“1”。只有基于学生原有知识基础与活动经验上的教学才是真正为学生所需要的，才会体现出探究的价值。

（二）巧用学习材料，为意义理解提供探究经验

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”要想让孩子产生探究的欲望，在课堂上提供给孩子研究的学习材料尤为重要。

学生对于分数的学习并不是一张白纸，借助学生已有的学习经验，我们完全可以引导孩子们自主探究分数的意义。例如，给出9个圆，让学生按要求圈一圈，涂一涂。在学生圈出若干个圆后，再让学生将所圈圆的涂上颜色。活动结果表明：不同层次的学生对于分数意义的理解深度也不尽相同。有的孩子只能在一个圆中找到分数，有的孩子能在4的倍数个圆中找到，有的孩子真正理解了分数平均分的本质，只要能分成相等的四份，就一定能找到1份作为整体的，从而找出6个圆、9个圆的。这一素材对于研究分数的意义十分重要。通过对这一有选择的、开放性的学习材料的使用，课堂上生成了许多有意义的教学素材；通过对比，学生充分体会到整体对应的量（单位“1”）变化了，部分对应的量也变了。把谁看作单位“1”是确定分数的关键，从而加深了学生对于单位“1”的理解。随着圆圈数量的不断增加，“一个整体”的概念内涵越发宽泛了。在这一操作活动中，学生通过探究与合作，感受到了数学与现实生活的密切联系，切实提高了自主探究的学习能力，为理解分数的意义这一抽象概念提供了直观模型，积累了操作探究经验。

（三）凸显数学思考，为后续学习积累思维经验

数学教学与思维的关系十分密切，我们在教会学生如何学习的同时还要培养他们的思维能力，久而久之，才能让他们形成比数学思维更高一级的数学思想，从而领悟学习数学的真谛。因此，在教学中，我们要时时刻刻关注数学思维的渗透。正如前面提到的学生学习分数时存在的普遍困惑：同样的表示的可以是不同的量，而比较与的大小时，又必须默认为单位“1”是相同的，抛去“分率”的意义，而用分数“量”的意义去比较。这样反复的转换无疑给孩子的分数学习带来了困扰。笔者认为，为了更好地凸显分数的测量概念，理解在任意两个分数中间是存在无限多个分数的，这就需要学生具备在数轴上标定分数的能力。本节课中笔者设计了“拓展提升，在数轴上完善分数意义的理解”环节，通过在数轴上找寻对应的分数，同样一个点尝试用不同的分数表示这样的教学环节，渗透对应和极限的数学思想，从而拓展学生视野，也为后续发展打下基础。最后，笔者不断地延长数轴上数字“1”后面的数，让学生充分感受无限的思想。数形结合，在直观演绎的基础上发展学生的抽象能力、观察能力，以及培养良好的数感，能为后续学习积累丰富的思维经验。

四、聚焦课堂，实践跟进

（一）复习引入，在一个图形中表示分数

结合“”这个分数，请你说一说，对于分数你已经知道了哪些知识。

（课件出示）

这些图，哪些能用“”表示，哪些不能？请说明理由。

设计意图：开门见山，直接以学生学过的分数导入新课，探寻学生的学习起点，复习旧知，为新课的学习做好铺垫。

（二）教学新知，在一些图形中表示分数

1.在操作中初步体验“单位1”的含义

（1）呈现学习任务

①圈出若干个圆。

②将你所圈的若干圆涂上颜色。

（2）独立实践研究

（学生活动：每名学生的桌上有四张学习纸，告之学生一张纸上可画一种方法，若画完不够的可继续向教师要学习纸；时间为3分钟）

设计意图：在三年级时学生已经学习过分数，有了初步的认识。面对一个分数时，学生更关注“平均分成几份”而很少关注这个分数表示“谁的几分之几”，即单位“1”的来历。因此，笔者设计了以上环节，不仅仅是让孩子充分感受单位“1”的变化，而且引导学生理解“在表示分数之前必须考虑把几个圆看作一个整体”，进而关注“把谁看作一个整体”，也就是确定好单位“1”。

2.在对比中深入感悟单位“1”的含义

（1）选取典型，促进学生对概念本质的理解

（出示学生作品）

（引导学生说清楚：把4个圆平均分成4份，表示其中的1份，就是这4个圆的）

师（追问）：涂色部分是这4个圆的（），那空白部分是这4个圆的（），+=1，这个“1”指的是1个圆吗？

生：不是，是4个圆了，把4个圆看成了一个整体。

（2）类比材料，加深学生对概念本质的理解

圈8个，涂上两个圆的颜色

师：比较观察，1号图和2号图有什么不同点？有什么相同点？

师（总结）：虽然他们研究的整体不一样，1份所代表的结果也不一样，但是他们都平均分成了4份。

（3）变式材料，巩固学生对概念本质的理解

生1：把2个圆作为一个整体，平均分成4份，表示其中的一份，就是这2个圆的。

生2：把6个圆平均分成4份，表示其中的一份，就是这6个圆的。

师：这幅图一份是可以清晰地看出来了，那么其他的三份在哪里？谁能将它分出来让大家看明白。（生演示将6个圆平均分成4份）

出示圈5个，表示出其中

设计意图：对于让学生寻找的“”，笔者分三步进行反馈：从圆的数量等于均分数（原有认知）——圆的数量大于均分数（扩展单位“1”的概念）——圆的数量不是均分数的倍数（对于单位“1”本质意义的理解），帮助学生逐步建立“一个整体”的概念，使学生对于单位“1”数学模型的抽象提炼和数学定义的归纳概括更加顺理成章。

3.概括提升，在对比中加深对单位“1”的理解

（1）概括延伸，强化学生对概念的应用

师：1号图的表示的是（1）个圆，2号图的表示的是（2）个圆，怎么回事呢？

生：整体不一样，1份是1个圆的整体是4个圆，1份是2个圆的整体是8个圆。

师（追问）：如果表示的是3个圆，那么这个整体可能是（ ）。若表示的是7个圆，那么整体又可能是（ ）。

师：如此思考，那你们觉得这个整体还可能是？

生：32、36、64、240、400……

师：是啊！这个整体可以表示很多很多的数。数学上把这样的整体叫做单位“1”。

师：数学上这些不同数量的圆可以表示单位“1”，生活当中还可以把什么表示单位“1”呢？

设计意图：作为数学学习的促进者，教师应针对学生的回答适时追问：“同样是，为什么前面是1个圆，而这里却是2个圆呢？”“也可以是3个圆，你觉得行吗？”这些适时追问，不断将学生的数学思维引向深入，突出教学的重点：单位“1”的不同导致分数所表示的量的不同，为孩子们后续学习分数应用题做好铺垫。

（2）总结比较，整理回顾“单位1”的研究过程

出示三年级时表示的“”和本节课表示的“”。

师：这些是三年级时学过的“”的表示方法，而这些是五年级学的“”的表示方法，有什么不一样？

（三）巩固练习，在练习中突破“分数单位的意义”

1.基础练习，理解分数单位的意义

出示：

独立完成——集体口答汇报

比较三幅图的异同。

小结：三个分数的分数大小是一样的（灰色部分），但是他们的分数单位是不一样的（课件中用蓝色强调）。

2.综合练习，深化分数单位的应用

出示：

想一想：涂色部分可以用哪个分数来表示？

师：同样一幅图，怎么可以表示出这么多的分数？他们不同点在哪里？

（四）拓展提升，在数轴上完善“分数意义”的理解

1.借助数轴，表示分数

师：这是一条数轴，我们把“0”到“1”看作单位“1”，那“”在哪？“”“”呢？

2.观察分数，发现规律

在这条数轴上可以表示多少个分数？你发现了什么？

如果把“0”到“”这一段看作“A”段，“”到“1”这段看作“B”段，那么黑板上的分数分别在哪一段？为什么？

师：如果这个点在“1～2”之间，那应该用什么分数表示呢？看来有关分数的知识还有很多，有待于我们进一步学习和探索。

设计意图：通过练习将分数回归到数轴上来，将分数的认识“去情境化”，引领学生把分数看成真正的“数”来认识，为后续学习积累丰厚的经验。学生通过对数轴上分数的观察发现，为“分数大小比较”“分数的基本性质”学习积累了经验，同时发展了数感，渗透了极限等数学思想方法，为今后的学习埋下伏笔。

（五）追根溯源——感受分数产生与发展的渊源

视频播放分数产生的来源及分数表示的演变过程（内容为书第60页、62页“你知道吗？”）。

设计意图：在三年级下册学习“分数的初步认识”时，孩子们对分数的产生有了一定的了解，这里通过视频这种喜闻乐见的方式再来回忆、感受分数产生的来源，可以让学生更全面地了解分数的意义：“分数”首先是一个具体的数，分数还可以表示部分与整体的关系，分数还是两个数的商或者两个数的比……从而完善孩子们的知识结构。另外，通过对分数的产生、演变过程的了解，学生也丰富了对分数历史的了解，扩大了知识面。

（责编 黎雪娟）