函数图像应用大盘点

山东省泰安第一中学 许兴堂

函数图像是函数关系式中最为直观形象的表述形式，也是函数定义的几何形式，它全面反映了有关函数关系的概念和性质，是研究函数性质的重要工具，应用非常广泛，下面举例说明．

一、利用函数图像研究函数的性质

例 1已 知 f（x）=3-x2，g（x）=2x，若F（x）=min{f（x），g（x）}，

(1)试求 F（x）的最大值；

(2)求函数 G（x）=F（logax）（0

分析：将表达式 F（x）=min{f（x），g（x）}进行展开，得到分段函数图像后，画出图像，根据图像就可得到最大值和单调区间.

（1）由图易知图中最高点A的纵坐标即为所求，

得（x，y）=（1，2）或（x，y）=（-3，-6），

所以函数F（x）的最大值是2．

（2）从图像看出函数 F（x）在区间（-∞，1]上是增函数，令 logax≤1，得到x≥a，

任意 x1，x2∈[a，+∞），当 x1logax2，所以F（logax1）>F（logax2），即G（x1）>G（x2），G（x）的单调递减区间是[a，+∞）．

点评：分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数，然后观察出它们在各段图像上的最值点，并比较它们最值的大小；另外数形结合法是确定函数单调区间的常用方法，函数的单调区间形象直观地反映在图像中．

二、利用函数图像解不等式

例2偶函数y=f(x)，奇函数y=g(x)的定义域均为[-4，4]，f(x)在[-4，0]，g(x)在[0，4]上的图像如图所示，求不等式))<0的解集.

分析：本题的核心是解不等式f(x)<0（>0）与 g(x)>0（<0），在二者没有具体表达式的情况下，应该先画出函数f(x)、g(x)的图像，然后观察图像得解集．

解：根据奇偶函数的图像的对称性画出f(x)、g(x)在整个定义域上的图像，如图：

三、利用函数图像研究方程

例3（1）若方程x2-2x+m=0有两根，其中一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，求实数m的取值范围；

（2）若方程x2-2 x+m=0有四个根，求实数m的范围．

分析：已知中给出方程的根的情况非常复杂，如直接从求解的角度来研究有些困难，可以考虑根据方程与对应函数的关系，利用函数图像直观观察找相应条件，借助图形来解决这个代数问题．

解：（1）令 f(x)=x2-2x+m，由条件说明f(x)的图像与x轴的交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，画出示意图，

从图像看出-1<-m<0即0

点评：函数与方程是紧密相连的两个概念，连接点就在于“方程x2-2 x+m=0的实数根就是函数g(x)与h(x)的图像交点的横坐标”，这类问题一般不是直接解方程，而是根据函数的图像或性质直接进行判断，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合的方法求解.

从以上几例可以看出，借助函数图像利用数形结合思想解题，形象直观、简洁明快，真像华罗庚先生说的那样：“数缺形时少直观,形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非”，解题时应注意合理选取辅助函数，使函数图像易作，变化趋势清晰，同时应注意图像的草图应能真实反映函数的变化规律，以免因图像的粗糙性而产生错误．