圆的生活意蕴与数学理解

石飞虹

[摘 要] 传统的初中数学教学常常过于抽象，学生理解起来有困难，因而学生容易排斥数学. 在初中数学教学中坚持从生活出发，让学生感知数学在生活中的意蕴，可以让学生发现数学的基本规律，可以让学生亲近数学；在学生感知数学的生活意蕴的基础上，再通过数学教学的设计，让学生生成丰富的数学理解，可以让学生的数学思维有丰富的表象，对于提高初中数学教学的有效性大有帮助.

[关键词] 初中数学；生活意蕴；数学理解

不知道从什么时候开始，学生对数学学习的热情越来越低了，要知道绝大部分学生在小学阶段可是常常在数学学习中获得成就感的，但到了初中，学生对数学排斥了起来. 笔者做过一次努力：从非数学教学的角度来反思初中数学教学. 结果发现问题多多：数学教师将自己放在数学当中，尤其是“有经验”的数学教师，其教学生活就是初中的数学内容，沉浸其中时间长了，数学教师就属于数学了. 一旦进入课堂，数学教师眼中常常只有数学而没有其他（包括学生）. 但学生却不是如此，在学生的生活中，且不谈其他学科知识的学习，就谈生活本身，其对学生的吸引力要比学校学习大很多，在这种情况下，怎么能指望抽象的数学学习还能给大部分学生带来愉悦呢？

基于这样的反思，笔者思考如何改变现状，有所收获. 尽管笔者的努力还不可能从面上完全革新，但已经能够让数学课堂多一点快乐，能够让学生的数学学习多一点活力，能够让学生对数学知识的构建多一些厚度. 现以“圆”的教学为例，谈谈笔者的浅显尝试.

圆的生活意蕴，为学生构建圆的概念增添感性认识

圆在生活中非常常见，在数学教学中也常常引用生活中圆的例子来帮学生建构圆的概念. 但这样的引用常常是具有功利性的，常常是用完了就扔了，真正基于“生活圆”的数学问题是极少的，学生面对的仍然是极度抽象的“数学圆”. 这说明生活中的圆还没有真正成为数学课堂上的有价值的体现. 于是在圆的概念构建过程中，笔者尝试花相当的精力，来让学生体验、感知、认识、理解生活中的圆.

最简单的问题是：生活中有哪些物体是圆的？初中的学生对这一问题并不是感觉到简单，而是跳跃发言. 于是，碗、盘子、车轮、太阳、地球、奥运五环、硬币等，就一下子冒出来了. 这说明学生对圆的生活认知是没有问题的. 但如此就过渡到圆的概念，那就太快了，学生还没有来得及领略到生活当中圆的意蕴呢！于是笔者向学生抛出第二个问题：为什么这些东西会是圆的呢？这个问题会让学生感觉到有些突兀，他们知道这些物体是圆的，但却从来没有思考过它们为什么会是圆的. 更大的问题在于，一旦开始思考这个问题，答案反而不那么清晰了. 要说出为什么碗是圆的，还真的不太清楚；要说出为什么太阳和地球是圆的，那更加说不来了.

如果说问题的提出却得不到解决，那学生自然会有失望的心理，生活的意蕴领略也就谈不上了. 但是笔者又不能直接给他们提供答案，于是给了他们一个提示——一个方法上的提示：假设法，假设它们不是圆的，那会出现什么情形？由于考虑到问题的复杂性，譬如天体之所以呈现圆形（实际上是球形），那与天体的自转有关，但学生此时没有知识基础，因此不做过多的研究. 只将问题集中在碗和车轮上. 学生一下子活跃了起来：假设是方的？碗可以是方的吗？有，但正常都是圆的吧；车轮？那肯定得是圆的，方的怎么走啊？……

一个假设性的思维让学生的思维无限活跃了起来，笔者在此基础上再引导学生去思考：碗是瓷的，瓷器的制作都是手工的（呈现瓷器的制作过程：制作模具的持续转动之下，一个碗的泥胎形成了）. 看来碗的圆形与转动是相关的，在转动的过程中，工人可以确保自己手与中间的转轴距离不需要改变，就能形成一个圆形的碗. 再说车轮，车轮是用来转动的，而要想转动，从机械的角度讲，其实就是要保证车轮与地面接触的点与车轮转轴的距离不变——如果变了的话，车就会出现一会儿高、一会儿低的情形.

于是学生开始总结了，这里面都有个保持距离不变的共性，一个边上的点与中间的点的距离不变的性质. 发现了这一点之后，有学生恍然大悟：老师，我知道了，怪不得木匠师傅有时要画个圆，就用一颗钉子固定在中间，用一根绳系在上面一转，就画出了一个圆呢！原来圆是这么形成的……

这一过程大概就是十分钟左右的时间吧，比传统教学的先举例然后得定义多花了七八分钟的时间，但这个过程如何？笔者以为，学生活跃的思维、智慧的认识、灵光一闪情形下的举例，都已经说明了这一教学策略是成功的. 在这个过程中，学生对生活中的圆进行了深刻的理解，获得了对生活中圆的意蕴的感受，且并不影响学生从生活圆走向数学圆.

圆的数学理解，为学生生成圆的认识提供理性思维

有了生活意蕴作为基础，学生对圆的感觉“亲切”了许多，在他们的眼中，圆不再只是那个抽象的圆圈了，而是有了生活中的事物作为理解基础的，这从学习心理的角度来看，这是学生思维中有了圆的表象，而这又恰恰为学生对圆的形象思维提供了基础，且为从形象思维向抽象思维的过渡奠定了基础. 对了，这个过渡，就是从生活圆向数学圆的过渡.

数学圆毕竟不同于生活圆，对其的认识更多的应当是抽象的. 除了基本的圆的符号及表示之外，对于圆的理性认识，教师需要进行什么样的教学设计呢？以同心圆的教学为例，笔者将教学的重点放在让学生生成数学理解上. 同心圆从数学的角度来讲并不复杂，学生根据同心圆的概念，也能大概地认识到这两个圆具有“同心”的特征，但很显然的是，这种从数学下定义出发的数学理解过于抽象，学生思维中只可能有数学意义上的同心圆，而这样的理解缺少了形象基础作为支撑，对后续的数学学习甚至是其他学科的学习会埋下隐患. 笔者一位教高中物理的同行常常跟笔者说，现在的高中学生在圆周运动中，常常弄不清楚同一圆周运动物体上的两点的角速度和线速度的关系. 笔者思考，这可能就与初中阶段同心圆的教学忽视了丰富学生理解过程有关系.

于是，笔者首先做一个工作：让学生用课前准备好的大小不同的两个圆重叠，以确保它们能够构成同心的关系. 由于笔者让学生准备圆时不准用圆规，而是借助于圆形物体描出来的圆. 因此，学生在将两个圆重叠的时候，尽管不断努力，但总是对自己的重叠结果没把握. 怎么办呢？有学生提出找圆心，这是一个好的思路，怎么找圆心呢？必须结合上述对圆的认识来进行，学生会发现就是要找到圆周上点距离相等的点. 这个过程并不复杂，但需要强调的是此时生成一个数学教学的契机：确定圆心. 这个工作是否此时完成，看具体情况而定，这里不赘述. 从方法的角度来讲，学生已经获得了一种方法. 这个时候再回到假如使用圆规作图的情形上来，学生会发现此时问题的解决要顺利得多. 那么生活中又有哪些同心圆呢？车轮上离圆心距离不同的点的运动轨迹，其实都是一个同心圆.

其实，所谓数学理解，关键在于让学生有一个理解数学的过程，没有一个过程，是生成不了数学理解的. 而过程的设计则与具体的教学内容密切相关，也与学生的认知基础密切相关，笔者以为，好的数学理解过程，一定是在对学生的学情有准确的把握的基础上，再结合具体的数学知识而设计的. 譬如以上的过程，笔者就注意到了学生缺少同心圆的感性认识，然后设计了这一过程. 事实也证明，有了这一过程，学生在后来遇到同心圆时，都会回忆这一情形，他们大脑中已经生成的同心圆表象，可以为后面很多相关数学知识的构建提供基础.

从生活到数学，初中数学教学需要坚持的重要认识

数学不可能不抽象，不抽象就不叫数学了，但数学教学却不宜过于抽象，尤其是对于初中数学教学而言，纯粹的逻辑推理常常会让学生感觉数学并不可亲. 而基于生活的数学知识构建，与基于数学理解的数学教学，则可以让学生更好地认识数学. 也正因为如此，笔者才提出了感受数学知识在生活中的意蕴并生成数学理解的教学建议.

事实证明，这一建立对于实际数学教学是有积极意义的，坚持数学概念之前先到生活中寻找相关的事例，并认真研究之，从正反两个方面思考之，可以让学生对生活中的数学有超过生活认识深度的感受. 这种感受对于数学知识的构建来说是宝贵的，学生既能发现其中的数学规律（尽管这时的发现还显得比较粗糙），也能发现数学与生活并不遥远. 而数学理解则是在感受生活意蕴的基础上进行的，其是从生活数学向纯粹的数学过渡的重要阶段，也是体现数学教师教学水平的重要环节.

综上所述，坚持从生活到数学的教学观念，可以让初中数学教学更圆润，更有效.endprint