善用枚举法解排列、组合及概率统计题

在解决排列、组合及概率统计等与计数有关的问题时，有不少读者认为枚举法是“最烦、最繁、最差、最没有技术含量”的方法，其实不然：第一，当基本事件总数较少但情况又稍复杂时，枚举法一清二楚；第二，枚举法应当是解这类题时首先想到的方法，比如树形图、列表法等；第三，即使枚举法失败，也可由此发现部分规律，对解题亦有帮助. 因此，解决计数问题时，应重视枚举法.

题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆. 某天张先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序. 为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么张先生乘上上等车的概率是________.

解：这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”，试验成功的情形是“张先生采取上述策略能乘上上等车”.

先枚举出一次试验可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上. 其中试验成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率是■=■.

题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是________.

解：设想6位同学站成一排分别站的位置是1，2，3，4，5，6. 因为男生甲不站两端，所以可分以下四种情形：

（1）甲站的位置是2. 此时3位女生站的位置只能是（1，34），（1，45），（1，56），（34，6），（3，56）这5种情形，可得此时有5A■■A■■=60种排法.

（2）甲站的位置是3. 此时3位女生站的位置只能是（12，4），（12，5），（12，6），（1，45），（1，56），（2，45），（2，56）这7种情形，可得此时有7A■■A■■=84种排法.

（3）甲站的位置是4. 此时的排法数同（2）.

（4）甲站的位置是5. 此时的排法数同（1）.

所以所求答案为（60+84）×2=288.

注 列举时可先选好标准进行分类，而每一类中列举时可按照字典排列法（小的在前，大的在后），这样可做到不重不漏.

题3 （2008年高考山东卷）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.

（1）从中任选3人，求选出的火炬手的编号能组成等差数列的概率；

（2）从中任选3人（但这3人之间有顺序），求选出的火炬手的编号按选出的顺序恰为等差数列的概率.

解：公差为1，2，3，…，8的等差数列分别有16，14，12，…，2个，所以满足题意的等差数列共有16+14+12+…+2=72个. 所以所求概率分别为：（1）■=■；（2）■=■.

题4 （2009年高考湖北卷）一个盒子里装有4张大小、形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6. 现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望.

解：我们先列出所有可能的情形（见下表）：

■

所以随机变量η的分布列和数学期望分别为：

■

E（η）=5·■+6·■+7·■+8·■+9·■+10·■+11·■=8.

题5 （2009年高考辽宁卷）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为■. 该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6. 击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.

（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

（2）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）.

解：（1）略.

（2）我们先列举出目标被击中2次时被击中各部分的所有情形：

■

只有情形1，2，3，4，5，7满足题意，所以

P（A）=0.1+0.3×（0.1+0.3）+0.6×0.1=0.28.

题6 （2007年高考山东卷）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）.

（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

（2）求ξ的分布列和数学期望；

（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率.

解：方程x2+bx+c=0的判别式为Δ=b2-4c（b，c∈{1，2，3，4，5，6}），因为该方程实根的个数是0，1，2分别等价于Δ<0，Δ=0，Δ>0，所以我们先列出下面的表格：

■

其中Δ<0与Δ>0的情形各有17种，Δ=0的情形有2种，总计36种情形. 所以有：

（1）所求概率p=■=■；

（2）ξ的分布列为：

■

ξ的数学期望为E（ξ）=0·■+1·■+2·■=1.

（3）由表格中b=5所在的列及c=5所在的行知，所求概率p=■.

注：该解答比参考答案要简洁清楚明白，第（3）问的参考答案是用条件概率来求解的，而这里是仅用古典概率来求解的.

题7 （2010年高考江西卷）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门. 再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止. 令ξ表示走出迷宫所需的时间.endprint

（1）求ξ的分布列；

（2）求ξ的数学期望.

解：我们先列出所有可能的情形（见下表）：

■

所以本题的答案是：

（1）

■

（2）E（ξ）=1·■+3·■+4·■+6·■=■（h）.

题8 （2013年高考山东卷）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是■外，其余每局比赛甲队获胜的概率是■. 假设每局比赛结果互相独立.

（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.

解：比赛的结果共有以下六种情形：

■

（1）甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率分别是■，■，■.

（2）X的分布列为：

■

E（X）=1·■+2·■+3·■=■.

题9 （2010年高考安徽卷）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

（1）写出X的可能值集合；

（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4排列，求X的分布列；

（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，

①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

解：这里的一次试验是“将1，2，3，4排序”，可以枚举出这A■■=24种排列及其对应的X值，如下表：

由此表立得本题的答案是：

（1）X的可能值集合为{0，2，4， 6，8}.

（2）在等可能的前提下，得

■

（3）①■+■3=■.

②因为■<0.005，所以事件①发生是小概率事件，说明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的可能性很小. 因此可以认为该品酒师确实具有良好的酒味鉴别功能，不是靠随机猜测的.

注：从阅卷情况看，这道高考压轴题的得分率极低. 笔者认为造成这种情形的主要原因是考生不会用最简单的原始方法——枚举法解决计数问题，只知道套用排列、组合公式解决复杂的计数问题，殊不知，用简单的枚举法也能轻松解决计数以及概率统计问题. ■endprint