用变式训练提高高中数学课堂效率

唐爱文 张有贤

数学是人类活动的基本工具，学好数学也是社会对人才的基本要求。因此，提高数学课堂的效率十分必要，变式训练是数学教学中普遍采用的教学手段，也是行之有效的教学手段。高中数学课堂也可以利用变式训练来加强学生数学能力的提高。

一、利用变式训练加深概念理解

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去发现和探索，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

如在讲函数的定义域时，一个函数的定义域是自变量的取值范围。实际上学生对自变量和变量，难以辨析，此时可以做如下变形：

变式1：若函数f（x）的定义域是[-1，1]，求f（2x）的定义域；

变式2：若函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（x）的定义域；

变式3：若函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（log2x）的定义域。

通过以上的变式，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、利用变式训练增强学生对公式、定理及性质的运用

数学能力的发展和形成，有赖于掌握定理、公式和法则去进行推理论证和演算。在复习定理、公式和法则的教学过程中，利用此类变式问题可明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围、注意事项等关键之处，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确演算能力。

例如在研究三棱锥（即四面体）顶点的射影与底面三角形“各心”的关系时就可设置以下问题：

（1）当三棱锥是正三棱锥时；

（2）当三条侧棱的长均相等时；

（3）当侧棱与底面所成的角都相等时；

（4）当顶点与底面三边距离相等时；

（5）当三条侧棱两两垂直时；

（6）当三条侧棱分别与所对侧面垂直时。

通过不断变换命题的条件，引深拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生在挑战中寻找乐趣，培养了思维的深刻性，同时也进一步巩固了对于线线、线面垂直关系，尤其是三垂线定理的掌握。防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、利用变式训练提高学生在解题思维与探索能力

（一） 多题一解，适当变式，培养学生求同存异的思维能力

许多数学习题看似不同，但它们的解题的思路、方法是一样的，这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例如：（1）已知a，b∈R+，且a+b=1，求（■+1）（1+■）的取值范围。

（2）已知a，b∈R+，且2a+3b=1，求（■+1）（1+■）的取值范围。

（3）已知a，b∈R+，且2a+3b=4，求（■+1）（1+■）的取值范围。

这些题目都是对均值定理的应用，教师要把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

（二） 一题多解，触类旁通，培养学生思维的灵活性

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。既能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，又能引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

例如，已知向量■=（2，0），■=（2，2），■=（■COSa，■sina），则■与■夹角的范围是（ ）

A. [■，■] B. [0，■]

C. [■，■] D. [■，■]

这题学生一般想到利用■=■+■，先求出■，然后用两向量夹角的余弦公式求解，但是还可以运用另外一种简单方法。那就是利用■=■+■=（2+■cosa，2+■sina，可以判断出点A的轨迹是以（2，2）为圆心，■为半径的圆。然后利用数形结合求出夹角的范围了。这个题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

（三） 一题多变，总结规律，培养学生探索能力

通过变式训练，不是解决一个问题，而是解决一类问题，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识。从而使一个题目延伸出一类题目，达到举一反三、触类旁通的目的。

例如，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G，H分别是CB，CD上的点，CH∶CB=CG∶CD=2∶3，求证：四边形EFGH是梯形。

这道题目的是加强对公理4的理解和应用，对这个题目可从改变条件，探索新的结论和改变图形的角度进行很多变化。

变式1：条件不变，该求证HE与GF交于一点。

学生在上题中已证得EFGH是梯形，对结论的深化不是难事，关键是在不改变条件的情况下，要对结论进行探索。

变式2：已知条件为E、F、G、H分别是AB、AD、CB、CD的中点，（1）则四边形EFGH的形状。（平行四边形）（2）且AC=BD，则四边形EFGH的形状。（菱形）（3）且，则四边形EFGH的形状。（矩形）（4）且AC=BD，则四边形EFGH的形状。（正方形）（5）且AB=BC，AD=DC，则四边形EFGH的形状。（矩形）

变式3：已知条件，E、H分别为AB，BC的中点，AF∶FD=3，过H、E、F做一平面交CD于G，（1）CG∶CD（2）求证：EF与GH交于一点。

通过改变条件得到不同结论的变式，可以大大激发学生的兴趣，变式2的一组题目跟初中平面几何的题目有类似性，可以促进学生从平面到空间的迁移，变式3有例题及前两个变式的基础，教师为学生的巩固掌握打好了支架，学生要理解就比较容易了。

变式4：设图形G、H分别是CB、CD反向延长线上的点，其余条件不变，求证：EFGH是梯形。

变式5；当图形G、H分别是CB、CD反向延长线上的点时，（1）四边形图形EFGH是平行四边形，求CG∶CB。（2）在（1）的基础上满足什么条件时，再补充条件使四边形EFGH是矩形。

变式4、变式5改变了图形中G、H的位置，但线段的一些基本关系没变，学生已有上面变式的经验，较容易掌握。但变式5中（2）是一个开放性题目，对所补充条件，每个学生考虑的角度不同会得出不同的答案，如EH⊥BD，或AB=AD且BC=DC，对于学生的探索，推理过程只要存在着一定得合理成分，教师都应该予以肯定，并做出适当的点评，让学生对自己的探索充满信心。

总而言之，数学变式训练以一胜多、举一反三的变式教学，给数学教学注入了生机和活力，提高了学生的兴趣，调动了学生的积极性，使其学得轻松，并且避免“题海”，从而提高了课堂教学效率和教学质量，对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起着非常重要的作用。“变”与“不变”，都要让学生去体验。教师的作用应该主要是引导和点拨，使学生去思考和比较，发现变式问题中的“变”与“不变”。

四、利用变式训练培养学生数学思想方法的应用意识

数学思想方法在高中数学学习中具有重要地位，为了加深学生对数学思想方法的领悟和应用，我们以二次函数为例做如下变式训练：

例：求函数y=x2-2x-1的最值。

变式1：

（1）求函数y=x2-2x-2，x∈[-1，3]的最值；

（2）求函数y=x2-2x-2，x∈[-4，0]的最值；

（3）求函数y=x2-2x-2，x∈[3，5]的最值。

改变定义域的范围，将问题转化为某一区间上求最值，让学生体会分类讨论的思想，同时也为下面进一步的变式做好铺垫。

变式2：

（1）已知函数y=x2-2x-2，x∈[t，t+1]，求函数的最值；

（2）已知函数y=x2-2x-2，在x∈[0，t]上有最小值-2，最大值-1，求实数t的取值范围；

（3）已知函数y=x2-2ax-a，x∈[3，5]，求函数的最值；

将原来具体数据抽象为区间含参数或表达式问题，将具体问题抽象化，特殊问题一般化，从而渗透数形结合、分类讨论、概括与抽象等数学思想方法。

变式3：

（1）已知不等式x2-2ax-a>0在区间[2，4]上恒成立，求a的取值范围；

（2）已知不等式x2-2ax-a≥0在区间[2，4]上恒成立，求a的取值范围；

（3）已知不等式x2-2ax-a>0在区间（2，4）上恒成立，求a的取值范围；

（4）存在x∈[2，4]，使得不等式x2-2ax-a≥0恒成立，求a的取值范围。

由原来求函数的最值问题，变成不等式恒成立问题和存在性问题，既巩固了求最值问题，又解决了一类新的问题。令f（x）=x2-2ax-a，则不等式x2-2ax-a>0恒成立，即f（x）>0恒成立，可转化为f（x）min>0；或者结合图像，f（x）>0恒成立就是函数图像在x轴上方；或者分离变量，最终转化为求新函数的最值问题。

总之我们在教学实践中，经常性的进行一系列的变式训练，利用变换条件，变换题型，变换解法等形式多样，内容丰富的变式训练，可以让学生从中领悟和归纳数学思想，可以很好的提高学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。

责任编辑龙建刚