改善和提高参数单侧假设检验教学效果的实践与探索

＼[作者简介＼]李景和（1963），男，天津人。副教授，主要研究方向为工科数学教学。

＼[摘要＼]

分析了参数单侧假设

检验教学的现状和存在的问题，提出和论证在该部分内容的教学中应注意讲好思想方法、确定好小概率事件和适当介绍参数单侧检验中原假设的确立原则。通过加强这三个方面的工作，以期缓解学生学习的畏难情绪，提高学生的学习兴趣，从而有效改善和提高参数单侧假设检验的教学效果。

＼[关键词＼]单侧假设检验;思想方法;小概率事件;原假设;备择假设

＼[中图分类号＼]O212.1＼[文献标识码＼]A＼[文章编号＼]10054634（2015）03008403

1参数单侧检验教学的现状和存在的问题以及存在问题的原因分析

总体未知参数的单侧假设检验是工科数理统计教学的正式内容，但该部分内容的教学现状不尽人意，学生对单侧检验的思想和方法掌握不佳，一些学生反映听不懂，跟不上，作业完成不理想。由于目前期末考试假设检验部分的考题一直是以一个正态总体未知参数的双侧检验为主，很少涉及单侧检验，因此教师在教学中对未知参数单侧检验远不如对双侧检验重视，参数单侧检验的教学处于一种尴尬的境地。造成学生学习困难的一个主要原因是概率论与数理统计概念多、结论多、公式多、记忆压力较大。未知参数的假设检验包含一个正态总体参数的、两个正态总体参数的和非正态总体参数的三个大方面，而这三个大方面又各自分若干种情况，就河北工业大学使用的教材（文献＼[1＼]）而言，假设检验三大方面总共介绍10种情况，每种情况又可以再分成双侧和两种单侧假设检验，这样最后推得的结论共30个，教学内容显得枯燥和繁琐。假设检验是教学的最后一章，一些基础不太好的初学者还不能消化和理解前面章节讲过的抽样分布定理和分位数等相关结论，从而不能将其应用到假设检验之中，在参数双侧检验时尚可坚持，而在单侧检验时便感到力不从心，甚至放弃学习。

2改善和提高参数单侧检验教学效果的内容参数单侧假设检验是正式的教学内容，面对教学中的困难，教师不应回避矛盾，应当积极探索，大胆实践，特别是在基础较好的统招生的教学中，更应严格按照教学大纲的规定，认真讲好每一部分内容。笔者以为改善和提高参数单侧检验教学效果应从以下三个方面入手。

2.1讲好思想方法

改善和提高参数单侧检验教学效果的最重要环节是讲好假设检验的思想方法。假设检验的思想方法简单概括起来就是：在假定原假设H0成立的情况下，构造一个小概率事件，看具体抽样中小概率事件是否发生，若发生，则拒绝H0;若没发生，则接受H0。其思想方法根据有两条，一是“实际推断原理”，即认为小概率事件在一次试验中不会发生，二是概率性质的反证法

。具体解题步骤如下。

1） 写出原假设H0和备择假设H1。

2） 假定原假设H0成立，选择适宜的统计量，根据统计量的分布和分位数的定义写出小概率表达式。

3） 根据原题给的样本值，通过计算统计量的观察值看小概率事件是否发生。若发生，则拒绝H0;否则接受H0。

值得注意的是从参数双侧假设检验到单侧假设检验，其思想方法没变，具体解题步骤没变，统计量的选择也没变。变化的是H0或H1中的

等式变为不等式，小概率表达式中由统计量落入两个区间的并变为统计量落入单个区间，即统计量大于等于某个数或小于等于某个数的概率是小概率α，从而最后得到的拒绝域由两个区间变为单个区间。教材中在介绍参数假设检验时，对每种情况都将双侧和单侧检验一起给出，笔者以为可参考文献＼[2＼]的顺序，先集中介绍双侧假设检验，然后再讲解单侧假设检验更为适宜，这样可使坡度变缓，利于初学者循序渐进地掌握内容。双侧假设检验的教学必须突出假设检验的思想方法，并在一个正态总体—两个正态总体—非正态总体的过程中不断体会这一思想，同时进一步加深记忆和理解检验统计量及其分布，为单侧检验教学打下良好的基础。

2.2确定好小概率事件

改善和提高参数单侧检验教学效果的另一个重要环节是确定好小概率事件。在假定原假设H0成立的情况下，结合备择假设H1，分析检验统计量的观察值理应偏大还是偏小，偏小或偏大不正常，从而写出小概率表达式是最直观简便的方法＼[2＼]，下面以一个正态

总体方差的假设检验为例说明。

设X～N（μ，σ2），μ未知，（X1，X2，……，Xn）是来自总体X的样本，在显著性水平a下检验假设H0：σ2≥σ20，H1：σ2<σ20。取检验统计量χ2=（n-1）S2σ20，样本方差S2是总体方差σ2的一个较好的估计量（是无偏和一致估计量），S2的观察值s2比σ2越大，对H0越有信心，否则s2比σ20越小，倾向于拒绝H0。显然，若σ2≥σ20，则S2的观察值s2对于σ20而言理应偏大，即s2使（n-1）s2σ20偏大，否则偏小是不正常的，是小概率事件。当σ2=σ20时，χ2=（n-1）S2σ20～χ2（n-1）。

根据教材（文献[1]）中分位数的定义，有P{χ2≤χ2a（n-1）}=α，H0的拒绝域为（-∞，χ2a（n-1）＼]。

需要进一步说明的是，这里P{χ2≤χ2a（n-1）}=α是在σ2=σ20时成立的，事实上当σ2>σ20时，可证明P{χ2≤χ2a（n-1）}≤α，即当σ2>σ20时，{χ2≤χ2a（n-1）}依然是小概率事件，证明如下：当σ2>σ20时，统计量χ2=（n-1）S2σ20可计算其观察值，但不知其分布，而在此时已知分布的是，

χ20=（n-1）S2σ2～χ2（n-1），

有：P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。由σ2>σ20知：

（n-1）S2σ20>（n-1）S2σ2，

有：

（n-1）S2σ20≤χ20（n-1）

（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

。

故：

P{χ2≤χ2a（n-1）}=P（n-1）S2σ20≤χ2a（n-1）

≤P（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

=P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。

从而此时事件{χ2χ2a（n-1）}的概率不超过α，依然是小概率事件。若检验假设是H0：σ2=σ20，H1：σ2<σ20，则当原假设成立时，结合备择假设知χ2=（n-1）s2σ20偏小是

不正常的，是小概率事件，从而拒绝域仍为（-∞，χ2a（n-1）＼]。

所有参数单侧检验都可以在假定原假设成立情况下，结合备择假设，通过分析检验统计量的观察值理应偏大还是偏小，偏小或偏大不正常，从而写出小概率表达式，这是初学者确定好参数单侧检验小概率事件一个很好的切入点，同时在所有参数单侧检验中，经过分析对原假设中等号成立时由相应检验统计量和显著性水平所确定的小概率表达式，可以证明这个小概率表达式中的小概率事件在原假设中的不等号（原假设中的不等号均含有等号，即为“大于等于”或“小于等于”）去掉等号后，仍然是小概率事件，即其概率不超过显著性水平α。

2.3适当介绍参数单侧检验中原假设的确立原则

参数单侧检验中如何正确确立原假设和备择假设问题是教学难点，也是必须面对的问题，因为在不同的教材或辅导书中，同一个参数假设检验问题，当原假设和备择假设的内容交换以后，可能对检验的问题会做出截然相反的结论，学生会对此感到困惑，甚至一些老师也没彻底弄明白。事实上，原假设和备择假设不是对等的，不能随意对换。假设检验主要是检验备择假设的，当结论是拒绝原假设而接受备择假设时理由是比较充分的，应当说有1-α的把握;当结论是接受原假设时，只能说是根据已得到的数据还不能接受备择假设而已＼[3＼]，正确的设立原假设方使假设检验达到目的，原假设的确立原则可大

致简单归纳如下＼[46＼]。

1） 将有较大信心成立和不能轻易否定的结论作为原假设H0。一般来说，把应该受到保护、有足够证据时才能否定的命题或“不证自明”的命题作为原假设， 拒绝原假设应当谨慎，在没有充分证据时不能轻易拒绝原假设H0。

2） 将希望否定的现象作为原假设H0。由于假设检验拒绝原假设比接受原假设的理由更加充分，因此在实际应用中应将检验者希望否定的现象设定为原假设，将研究者希望肯定的现象设定为备择假设。例如，要检验新方法、新材料或新工艺是否比原来的好，则在假设检验中将原方法、原材料或原工艺取为原假设H0，以便有足够的理由来说明新方法、新材料或新工艺比原来的要好。

3） 原假设中应包含等号。显然，检验时，小概率的表达式是在原假设中等号成立

时成立的，此时未知参数取常数，方得到检验统计量，因为统计量是不能含有未知参数的，因此原假设一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值三种情况之一。

4） 使后果严重的错误为第一类错误。 此前已向学生介绍了假设检验中的两类错误，在某些情况下， 将造成后果严重的错误设置为第一类错误， 以此确定原假设，因为犯第一类错误的概率是可以通过选取显著性水平α的大小来控制的，犯第二类错误的概率β是无法控制的。

5） 根据建立假设的角度和侧重点。原假设的确立有时和检验者看问题的角度和侧

重点有关，比如X是某产品的使用寿命，其数学期望是μ，产品合格的标准是μ≥μ0，这时若将原假设定为H0：μ≥μ0，则控制犯第一类错误是控制将合格品当作不合格品;若将原假设定为H0：μ≤μ0，则控制犯第一类错误是控制将不合格品当作合格品。显然

第二种原假设是侧重于保护消费者利益的。实际生活中如何选取原假设可能比较复杂，需要在实践中去体会和积累经验，根据实际情况去判断，而初学者需要在熟悉基础概念的基础上认真思考，深入体验假设检验的方法。在教学中，介绍该部分内容应从实际出发，立足学生的基础和学时数。在做题时，一般题目中与上面归纳的5条相关描述是比较清楚的，需仔细审题，看清题意，从而正确选取原假设和备择假设。

3结语

假设检验作为数理统计的基本方法，其应用日益重要，其中参数单侧检验在实际生活中普遍存在，如产品的使用寿命越长越好，次品率越低越好，方差越小越好等等。参数单侧检验是正式的教学内容，是双侧检验的继续和延伸，通过单侧检验的学习可进一步加深体会假设检验的思想方法。同时在讲好双侧检验的基础上使学生掌握好单侧检验是完全可行的，学习单侧检验和学习双侧检验所需要的基础知识完全相同，无需死记硬背结论与公式，只须掌握思想方法，在理解基础上进行记忆，并对规律进行总结，比如参数单侧检验中表示拒绝域的不等号的方向总是和备择假设中不等号的方向是一致的等等，通过深入理解思想，熟练掌握方法和总结结论中的规律来缓解记忆压力。

笔者近几年在学校统招生和城市学院（独立学院）从事概率论与数理统计教学工作，在讲授参数单侧假设检验时，按照上面提及的三个方面进行了探索和实践，感到学生对学习参数单侧检验的畏难情绪有所减弱，记忆压力得到缓解，自信心和学习兴趣有较大提高。这种教学实践特别受基础较好准备考研同学的欢迎。实践表明，讲好思想方法和确定好小概率事件以及适当介绍参数单侧检验中原假设的确立原则是改善和提高参数单侧假设检验教学效果的重要环节和有益探索。

参考文献

＼[1＼] 金大永，徐勇.概率论与数理统计＼[M＼].北京：高等教育出版社，2011：198216.

＼[2＼] 刘文，刘国欣.概率论与数理统计＼[M＼].天津：南开大学出版社，1990：312317.

＼[3＼] 黄发贵.单侧假设检验中备择假设的设定依据＼[J＼].理论新探，2006，（4）：1214.

＼[4＼] 张玉环.浅谈假设检验中原假设和备择假设的建立＼[J＼].大学数学，2012，（2）：118119.

＼[5＼] 张师贤.对总体参数单侧检验问题的讨论＼[J＼].江西理工大学学报，2007，（4）：67.

＼[6＼] 龚辉锋.单侧检验中假设的提法研究＼[J＼].沈阳大学学报， 2006，（2）：103105.