2015年浙江高考理科压轴题的解题分析

范广法

与往年一样，2015年高考理科压轴题（第20题）仍然延续了往年的风格，保持对不等式的考查，不同的是今年的压轴题以迭代数列为背景，往年多以函数和导数的内容为依托.今年的压轴题构思更精巧，设计别出心裁，解答长度大大缩短，给学生更多的思维空间，题目简约不简单.

题目 已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-a2n（n∈N*）.

（Ⅰ）证明：1≤anan+1≤2（n∈N*）;

（Ⅱ）设数列{a2n}的前n项和为Sn，证明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）（n∈N*）.

1 解题的“切入点”与“突破口”分析

根据递推关系，本题中的数列{an}认为是在给定首项a1后，由递推公式an+1=f（an）（其中f（x）=x-x2）反复迭代生成的数列.这时把{an}叫迭代数列，显然迭代数列{an}由函数y=f（x）与首项a1共同确定.以迭代数列为背景的题目，浙江考生遇到的不多，显得有些神秘.我们知道数形结合既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此在解题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题.注意到f（x）=x-x2是非常熟悉的函数，因此可尝试将数列{an}中的项表示在图形中，借此来获取{an}的性质.但凡迭代数列可尝试从数形结合的角度切入.

图1

如右图，过点（a1，0）作x轴的垂线交曲线y=f（x）于A1，交直线y=x于B1，再过A1作A1B1的垂线交直线y=x于B2，过B2作A1B2的垂线交曲线y=f（x）于A2，依此类推，反复作垂线得到一系列的点Ak（ak，ak+1），Bk（ak，ak），当正整数k由小到大变化时，通过观察点Ak或Bk位置变化情况可获取数列{an}的性质，如单调性、有界性等.由上图（有人把这种图叫做迭代图）可知{an}必满足0<an≤12，且an+1<an，这两点是解决第（Ⅰ）问乃至本题的切入点.

要证明第（Ⅱ）问，实际上是证明2（n+1）≤nSn≤2（n+2），它的左右两边是等差数列的通项，因此问题的突破口是证明{nSn}是类等差数列，但n+1Sn+1-nSn又不好计算（所以它不是本问的切入点），（Ⅱ）问的切入点在于对所证式子的等价转化，将复杂的难运算的式子转化为简单的好运算的式子.到此（Ⅱ）问的思路就很明显了，首先在等价转化方面切入，然后借助于类等差数列的性质突破.其过程如下：

根据Sn=a1-an+1，把12（n+2）≤Snn≤12（n+1）等价转化为12n≤an≤1n+1，再等价转化为n+1≤1an≤2n.因1an+1-1an=11-an，0<an≤12，1<1an+1-1an≤2，从而2+（n-1）·1≤1an≤2+（n-1）·2，即n+1≤1an≤2n，进而有12（n+2）≤Snn≤12（n+1）.

2 难点分析

“0<an≤12”是本题证明过程中的难点，往往说不清，道（推理）不明，一带而过，企图蒙混过关，解答必然差强人意.有人说用数学归纳法解决，可惜的是，数学归纳法并不面向2015届浙江全体学生（多数学生对此一无所知），这也是命题组不想看到的.对an≤12（实际上只需证明an+1≤14）可通过配方、判别式、基本不等式甚至标准答案中的迭代法都能解决.那么an>0如何证明呢？

可用反证法解决：假定ak+1<0，则ak+1=ak（1-ak）<0，而ak≤12，从而ak<0.也就是说若数列后项为负则其前项必为负，依此类推，必有a2<0，a1<0，这与首项a1为正矛盾;同样假定ak+1=0，则ak=0，依此类推，a2=0，a1=0，这与首项a1为正矛盾.

3 思维误区分析

（Ⅱ）问入口较窄，如不将所证式的等价转化当作切入点，会产生许多解题误区，这就是本问的难点.若将上问结果作为切入点：由1≤anan+1≤2得12≤an+1an≤1，（12）n≤an≤12，（14）n≤a2n≤14，13（1-14n）≤Sn≤n4，13n（1-14n）≤Snn≤14，左边缩得过小右边放得过大，离要证明的相差太远.若从0<an≤12切入：由于1an+1-1an=11-an，0<an≤12，1<1an+1-1an≤2，从而n+1≤1an≤2n，14n2≤a2n≤1（n+1）2，14∑nk=11k2≤Sn≤∑nk=11（k+1）2，接下的求和、放缩成难题;笔者通过12n≤an≤1n+1，12（n+1）≤an+1≤1n+2获取an-an+1即a2n的范围是12n-1n+2≤a2n≤1n+1，接下的求和、放缩同样成难题.若从所证式切入：即证n2（n+2）≤Sn≤n2（n+1），n2（n+2）是数列{1（n+1）（n+2）}的前n项和，n2（n+1）是数列{12n（n+1）}的前n项和，故要证明1（n+1）（n+2）≤a2n≤12n（n+1），证明有难度！切入点虽对但这种转化方式并不是等价转化.