用不等式组法求数列最值的是非成败

孙宏坤

在各种教辅资料与各级考试中，常常遇到求数列最值项的问题，很多资料及考试的参考答案中都采用不等式组法，即由an≥an+1，

an≥an-1，求数列的最大项，由an≤an+1，

an≤an-1，求数列的最小项，大多一线教师对此信以为真，在课堂上对学生以讹传讹，学生也奉若法宝.事实上，这一解法存在重大错误，下文举例说明.

1 最值项不一定满足不等式组

例1 在（2+3x）10的二项展开式中是否存在系数最小的项？若存在请指出是第几项;若不存在请说明理由.

错解 设二项展开式中第r+1项的系数最小，为tr+1=Cr10210-r3r，0≤r≤10，则tr+1≤tr，

tr+1≤tr+2，

由tr+1≤tr得Cr10210-r3r≤Cr-110211-r3r-1，即10！r！（10-r）！210-r3r≤10！（r-1）！（11-r）！211-r3r-1，化简得3r≤211-r，解得r≥335，所以r≥7.

同理由tr+1≤tr+2可得r+1≤335，所以r≤5，同时满足r≥7且r≤5的r不存在，故（2+3x）10展开式中不存在系数最小的项.

正解 二项展开式中第r+1项的系数为tr+1=Cr10210-r3r，0≤r≤10，

令tr+1>tr得Cr10210-r3r>Cr-110211-r3r-1，

即10！r！（10-r）！210-r3r>

10！（r-1）！（11-r）！211-r3r-1，

化简得3r>211-r，解得r<335，所以r≤6，所以t1<t2<…<t6<t7.

令tr+1<tr得Cr10210-r3r<Cr-110211-r3r-1，解得r>335，所以r≥7，所以t7>t8>…>t11，

而t1=210，t11=310，所以t1<t11，故系数最小的项是第1项.

点评 因为数列的首项不存在前一项，末项也不存在后一项，所以若最值项恰好为数列的首项或末项，则必定不满足此不等式组.若能排除最值项为首项或末项的可能，才能得到最值项满足此不等式组.

2 满足不等式组的项不一定是最值项

例2 已知数列{an}的通项公式为an=2-nn-52，求数列{an}的最大项.

错解 由an≥an+1，

an≥an-1， 得

2-nn-52≥1-nn-42，

2-nn-52≥3-nn-62，

化简得3n2-21n+34≥0，

3n2-27n+58≤0，

解得n≤21-336或n≥21+336，

27-336≤n≤27+336，

其中21-336≈2.5，21+336≈4.5，

27-336≈3.5，27+336≈5.5，

考虑到n只能为正整数得n≤2或n≥5，

4≤n≤5，

故n=5，所以数列{an}的最大项为a5=0.

正解 设函数f（x）=2-xx-52，x∈[1，+∞），求导得f′（x）=-3（x-3）（x-5），

令f′（x）>0，

x≥1， 得3<x<5，

令f′（x）<0，

x≥1， 得1≤x<3或x>5，

故函数f（x）在[1，3]上单调递减，在[3，5]上单调递增，在[5，+∞）上单调递减.

故数列{an}当1≤n≤3时递减，当3≤n≤5时递增，当n≥5时递减，从而数列{an}的最大项应该为a1与a5中的较大者，而a1=16，a5=0，a1>a5，所以数列{an}的最大项为a1=16.

点评 由不等式组求解出来的是特定连续三项之间的最值项，只是一个小范围上的最值项，不一定是数列全体项的最值项，类比函数极值的定义，满足不等式组的项我们不妨称为数列的“极值项”，类似于函数的极值与最值的关系，数列的极值项不一定是最值项.

3 不等式组法求数列最值项的成败情形

从上面的两个例子可以看出这个不等式组其实是数列取到最值项的既不充分也不必要条件，从而不等式组法也就不能作为求数列的最值项的通解通法普遍使用，然而很多一线教师对此事实却难以接受，因为他们一直使用这种方法，而且往往是能成功求解的.事实上能成功求解的通常只有两种情况，一种是数列的单调性满足先增后减，则可由不等式组法求出最大项，另一种是数列的单调性满足先减后增，则可由不等式组法求出最小项，即使这两种情形最终能获得正确的结果，笔者认为这一解法也是极不严谨的，因为其理论依据不满足一般性.不成功的情形更为广泛，如单调递增数列求最大（小）项，单调递减数列求最大（小）项，先增后减数列求最小项，先减后增数列求最大项，先增后减再增数列求最小项，先减后增再减数列求最大项，等等情形运用不等组法都不能获得正确结果.

从上面的两个例子也可以看出，确定数列最值项的本质是要依据数列的单调性.确定数列单调性的运算量与不等组法的运算量相差无几，由数列单调性求数列的最值项在思维的严密性上是无懈可击的.