熟书生温

复习指的是教师指导学生温习已经学过的教材，以强化知识记忆，加深理解，融会贯通，从而使知识系统化.它不是对原有旧知识进行机械性重复和再现，是孔子所说的“温故而知新”，是华罗庚先生在《高等数学引论》的序言里写的“熟书生温，似乎在复习，但把新东西讲进去了……，找另一条线索把旧东西重新贯穿起来”[1]的一个再创造过程，使得学生在复习旧知识、旧方法的同时又收获了新知识、新方法.因此，复习课的设计要有一条线索来贯穿，这条线索能激活己有知识、方法，并能带出新知识、新方法.

1 以新的知识内容为线索贯穿旧知识

新知识指的是在新授课中没学或不宜讲的知识.学生对这些新知识认知还没成熟，或知识点的区别与联系还不够系统.如一个单元多个概念的出现，象人教A版必修5中的《解三角形》、《数列》，《不等式》，选修23中的《随机变量的分布列》;概念的进一步深化、拓展等，象必修1中的《函数概念》、《函数的应用》，必修2中的《圆与方程》，选修21中的《圆锥曲线与方程》等等.这些只能在一个单元学习完毕，在单元复习课中，把这些新授课中没学的新知识作为贯穿旧知识的纽带，使得学生看似在复习，但把新东西学进去了.下面以《随机变量的分布列》的章节复习的设计为例来说明.可以通过比较二项分布与超几何分布的关系来复习，超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，但通过一节章末复习课，发现这两种分布可以通过有无“返回”，隔离正品和次品等方法来互相转换，也可把二项分布看作超几何分布的极限，它们的期望和方差之间也存在这种极限关系.下面是《超几何分布和二项分布复习课》的设计.

超几何分布和二项分布是新课标人教版选修23第二章《随机变量的分布列》中的核心内容.教材通过几个生活中的实例让学生认识两种模型所刻画的随机变量的各自特点，从而建立两种新模型.但在实际建模过程中有些学生往往容易把超几何分布与二项分布孤立起来，也甚至有些学生把两个模型完全混淆，很难谈得上灵活运用两模型解决一些实际问题.因此，此章复习，可以通过比较二项分布与超几何分布的关系来复习.

环节一 学生回顾两个概念.

环节二 通过定义比较两者最本质的区别.

发现：两者最本质的区别是二项分布的随机变量发生的概率是等可能的，而超几何分布概型的随机变量X发生的概率不是等可能的.导致两者不同的根源在于超几何分布是不放回抽取，而二项分布则是有放回地抽取.

环节三 提出问题

若将条件做些许改变，两者能融会贯通吗？

1）若将有放回的抽取改为不放回，那么超几何分布将转化为二项分布吗？

2）当产品的数量N巨大时，超几何分布将非常接近二项分布吗？

环节四 解决问题

问题1

1）现有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为09和085，设发现目标的雷达台数为X，求EX

2）设有mkg水，其中含有n个大肠杆菌.现任取1kg水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，试求EX，DX.

3）在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：

（1）取到次品数X的分布列

（2）至少取到1件次品的概率

4）在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5球，至少摸到三个红球就中奖，求中奖的概率.

通过4个小题让学生回顾超几何分布与二项分布相关的问题，感受有放回抽取与不放回抽取的不同.

问题2

1）从含有3件次品的100个灯泡中，有放回地抽取一个灯泡进行检测，连续取3次，用ξ表示次品数，求ξ的分布列.

2）从一批数量巨大的红酒中随机抽取20瓶进行质量检测，若这批红酒的合格概率为95%，随机变量ξ表示这20件产品中的不合格数，求随机变量ξ的数学期望Eξ.

3）现在有一批数量很大的汽车轮胎，其中次品2%，现从中任意地连续取出100件进行检测，设其次品数为ξ，求Eξ和Dξ.

通过3个小例子让学生感受到超几何分布与二项分布的联系，通过改变抽取方式或者让总体的容量无限大时，超几何分布就可以近似地理解成二项分布.

环节五 拓展提升

为了将学生对超几何分布和二项分布的理解上升到更高的层次，给出这样一个结论：设随机变量X服从超几何分布H（n，M，N），则当N→+∞时，X近似的服从二项分布B（n，p），即CrMCn-rN-MCnN≈Crnprqn-r，其中p=MN，q=1-p.

环节六 概括总结

1.我们把次品都放入一个次品袋，把正品放入一个正品袋，若摸到正品袋中的产品看作“成功”，摸到次品袋中的产品看作“失败”，每次摸球的过程中“成功”与“失败”的概率相等，且每次试验都是相互独立的，这正是典型的二项分布，由此用二项分布去刻划其概率分布列.两种分布仅“一袋之隔”，将正品和次品隔离，则超几何分布将成为二项分布.

2.超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布从表面上看来风马牛不相及，但通过本节课的设计，让学生在复习两种分布列相关知识的同时，也让学生了解了这两种分布列可以通过有无“放回”、隔离正品和次品等方法来互相转换，也可把二项分布看作超几何分布的极限，它们的期望和方差之间也存在这种极限关系.

在新授课中，大部分学生看待超几何分布与二项分布是停留在区别上，而不是关系上，通过此复习课，学生不仅回顾了《随机变量的分布列》的整章内容，且收获了全新的知识.

2 以新的推理、思想方法为线索归纳、整理旧知识

数学是一门逻辑推理的学科，思想方法是高中数学课程的主线，很多复习课可以以新的推理或思想方法为线索进行设计，推理包括归纳推理、类比推理、演绎推理.思想方法包括数形结合思想、方程与函数思想、建模思想、分类讨论思想和化归与转化思想等.例如《等差数列的复习课》可以以函数的思想方法为线索复习等差数列的有关性质，《计数原理的复习》中可以利用数列思想进行复习，扇形染色问题中的数列方法、走楼梯—斐波拉契数列方法调换座位—贝努利装错信问题、传球问题—纵向考虑的递推思想、几何问题—等差数列的应用.《等差数列与等比数列的复习课》可以运用类比推理为线索，先复习等差数列的性质，再运用类比思想复习等比数列，在选修21的《圆锥曲线与方程》章节复习中通过圆的性质类比得到椭圆、双曲线、抛物线等一系列性质.下面来看《等差数列的复习课》的教学设计，它是以函数的思想方法为线索复习等差数列的有关性质.

教学目标

让学生学会利用等差数列的概念来判断一个数列是否为等差数列，能利用等差数列的性质特征解决一些简单数列问题.

学会利用函数的观点来研究数列，认识等差数列的通项公式，前n项和公式均为特殊的一次函数与二次函数，培养学生利用函数思想解决数列问题的能力.

让学生体会到数列与函数不分家，数形不分家，享受数学的美.

教学重点与难点

教学重点：等差数列的判断及其性质的应用

教学难点：利用函数思想认识等差数列，解决数列相关问题

教学过程

引例 请你给出两个整数.

问题1 若这两个数依次是等差数列{an}的第3项、第7项，你能写出an吗？

追问：为什么给出两项就能确定an？

设计意图 引出等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，并认识到点（n，an）是直线上的离散点.

问题2 若数列{an}满足an=pn+q（p、q是常数），求证数列{an}是等差数列.

设计意图 回顾定义，学会用定义来证明等差数列.

问题3 若数列{an}满足2an=an-1+an+1（n≥2）记Sn=a1+a2+…+an，且a4=4，则可求（  ）值

A.S6   B.S7   C.S8   D.S9

设计意图 复习等差中项，学会用2an=an-1+an+1（n≥2）证明等差数列.

追问：为什么S7与a1，d都无关？

设计意图 揭示等差数列的几何背景，加深对核心概念的理解.

问题4 若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=S8=4.

（1）求S10的值;（2）求Sn的最大值.

设计意图 通过一题多解，复习等差数列的两个前n项和公式，巩固等差数列的性质，认识到点（n，Sn）是抛物线上的离散点.渗透函数方程和数形结合思想.

问题5 若数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=An2+Bn（A，B是常数），求证数列{an}是等差数列.

变式 若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12=84，S20=460.求S28的值.

设计意图 揭示等差数列的前n项和的本质特征，进一步加深对核心概念的理解.

利用函数思想来设计《等差数列的复习》，让学生从一次函数的角度认识等差数列通项公式，从二次函数角度来认识等差数列前n项和公式，不仅有效地复习了等差数列中的核心知识点，同时又让学生对数列的认识上升到更高的层次，也培养了学生用函数的观点来认识数列问题的意识.

原有的旧问题的解决往往有固定模式，而以新的知识、推理、思想方法为线索归纳、整理旧知识会让学生从另一个角度来理解数学问题，使得要解决的问题更加立体化，同时也让学生感受到数学知识是融会贯通的[2].

参考文献

[1] 华罗庚.高等数学引论[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 张维忠.基于课程标准的数学教学研究[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

作者简介 夏晓华，女，1971年生，浙江省永嘉县人，教育硕士，中学数学高级教师.曾获浙江省第五届教育科学研究优秀成果三等奖，浙江省优秀教师、温州市名师及温州市劳动模范 .发表论文10余篇.