2015年高考山东理科数学第21题解法研究及推广

刘聪胜+汪仁林

题目 设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由;

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

1 对题目解法的探究

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由题设知，x>0，f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立a（x2-x）≥-ln（x+1） （*）对x>0恒成立.

①当x2-x=0，即x=1时，（*）式显然恒成立，此时，a∈R;

②当x2-x>0，即x>1时，（*）式可化为a≥-ln（x+1）x2-x恒成立，令g（x）=-ln（x+1）x2-x，x>1，则a≥g（x）max.因为

g′（x）=-x2-x-（2x-1）（x+1）ln（x+1）（x2-x）2（x+1），令

h（x）=x2-x-（2x-1）（x+1）ln（x+1），则g′（x）与h（x）异号.而h′（x）=-（2x+1）ln（x+1）<0，所以函数h（x）在（1，+∞）上递减，所以h（x）<h（1）=-2ln2<0，所以g′（x）>0在（1，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（1，+∞）上递增，所以

g（x）max→limx→+∞-ln（x+1）x2-x=limx→+∞-1x+12x-1=0（洛必达法则），所以a≥0;

③当x2-x<0，即0<x<1时，（*）式可化为a≤-ln（x+1）x2-x恒成立，令

（x）=-ln（x+1）x2-x，0<x<1，则a≤（x）min.由②知，′（x）>0在（0，1）上恒成立，所以函数（x）在（0，1）上递增，所以

（x）min→limx→0-ln（x+1）x2-x=limx→0-1x+12x-1=1（洛必达法则），所以a≤1.

因为（*）式对x>0恒成立.所以① ② ③求出的a的范围再求交集即为答案.所以a的取值范围是[0，1].

评析 对比考题标准答案可知，此种解法的优越感不言而喻.考题标准解答技巧性强，略显突兀，学生普遍反映能看懂但想不到，而且将问题转化为含参数的函数求最值，分类目标不明确，较难处理. 本文提供的解法的优点是：分类讨论目标非常明确，思路清晰;将问题转化为不含参数的函数求最值，非常方便;通过分离参数、构造函数、二次求导，再借助洛比达法则使问题轻松获解，容易理解和掌握. 可操作性强，深受学生青睐！

2 方法的推广

上述解法不失一般性，对于“已知不等式a·f（x）≤g（x）对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.”的题型均适合.

常规解法  构造函数h（x）=af（x）-g（x）即h（x）≤0对x∈R恒成立，则只需h（x）max≤0即可，问题转化为求函数h（x）的最大值.

点评 此类解法的缺点是：求函数h（x）的最大值时，因为函数h（x）含参数a，往往要对参数a进行分类讨论，且如何分类目标不明确，较麻烦，对学生的逻辑思维能力要求较高，会使大多数学生无从下手.

优美解法 不等式a·f（x）≤g（x）对x∈R恒成立，可对f（x）进行讨论如下：

①当f（x）>0时，原不等式可化为：a≤g（x）f（x）对x∈{xf（x）>0}时恒成立，令Φ（x）=g（x）f（x），则只需a≤Φ（x）min .此时问题转化为当x∈{xf（x）>0}时，求函数Φ（x）的最小值;

②当f（x）<0时，原不等式可化为：a≥g（x）f（x）对x∈{xf（x）<0}时恒成立，则只需a≥Φ（x）max，此时问题转化为当x∈{xf（x）<0}时，求函数Φ（x）的最大值;

③当f（x）=0时，原不等式可化为：0≤g（x），对x∈{xf（x）=0}时，不等式0≤g（x）显然恒成立，此时x∈R.

因为不等式a·f（x）≤g（x）要求f（x）>0，f（x）<0，f（x）=0同时恒成立，所以① ② ③求出的a的范围再求交集即为答案.

点评 本解法的优点是：分类讨论目标非常明确，思路清晰;将问题转化为不含参数的函数求最值，非常方便;通过分离参数、构造函数、二次求导，再借助洛比达法则使问题轻松获解，容易理解和掌握. 可操作性强，值得推广.

3 方法的进一步巩固

此类含参数不等式恒成立的高考压轴题在近几年频频出现，限于篇幅，请读者自己用本文方法尝试解答下列高考题. 以期领会方法的本质！

1.（2014年陕西高考理科数学第21题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式;

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围;

2.（2014年新课标Ⅱ理科数学第21题）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;

（Ⅱ）设g（x）=f2x-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值.

3.（2013年高考数学全国课标Ⅰ卷理科第22题）

已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值.

（2）若x≥-2时，f（x）≤k·g（x），求k的取值范围.

4.（2012年高考天津理科第20题）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值;（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值.

5. （2011年高考全国课标卷数学理科第21题）

已知函数f（x）=aln xx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.（1）求a，b的值;（2）如果当x>0且x≠1时，f（x）>ln xx-1+kx，求k的取值范围.

参考答案：1.a∈（-∞，1];2.bmax=2;3.k∈[1，e2];4.kmin=12;5. k∈（-∞，0].

作者简介 刘聪胜，男，陕西旬阳人，中学数学特级教师，陕西省跨世纪三五人才.咸阳市教育教学研究室副主任、教育学会副会长兼秘书长、数学学会副理事长.发表论文60余篇，主编教辅用书三十余本，主持教育教学研究课题十余项，其中两项获陕西省教育厅基础教育科研成果一等奖，三项分获二、三等奖.

汪仁林，男，中学一级教师.全国新青年数学教师工作室成员，主要从事数学教育与高考试题研究，发表文章100余篇，参编教育专著5本.