对一道复合最值型数学学业水平考题的探究

张金良

2015年1月举行的浙江省高中数学学业水平考试是我省实施学业水平考试后的第三次考试.本次考试起点低、层次多、落点高，全省抽样平均约为76分，获得了广大一线教师的好评. 试卷中的压轴题特别引人注目，试题是围绕二次函数设计而成的一个最大值中的最小问题，呈现时又以任意存在的描述方式展现给考生，试题不仅情景朴实、叙述简洁，而且立意高远，背景深刻，它对考生的抽象思维能力与解题能力提出了很高的要求.阅卷表明，绝大多数学生无从入手，难以破题，全省16万考生的难度抽样平均为0.2.为了帮助教师把握该题的本质，现撰文介绍，期待着教师站在知识系统的高度，把握课堂教学，从而实现轻负担高质量.

题目：设函数f（x）=

-ax-b，a，b∈R.（I）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间;（II）当a=时，记函数f（x）在区间[0，4]的上的最大值为g（b），在b变化时，求g（b）的最小值;（III）若对任意的实数a，b，总存在实数x0∈[0，4]使得f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围.

一、解法探究

试题分成三小题，第一小题较基础，本文不作讨论. 第二小题为解第三小题作了铺垫，但阅卷表明，约有四分之一的学生能够解决.第三小题只有非常优秀的学生才能解答.然而仔细品味其中的奥秘，不仅有深刻的背景，而且有精彩优美的多种解法，是命题教师独具匠心的佳作，下面逐一介绍.

解法1  从二次函数对称轴是否在给定区间的视角入手.令=t，得f（x）=at2-t+b，t∈[0，2]，原命题等价于m≤[min][a，b∈R] [max][t∈[0，2]]at2-t+b，设g（a，b）=[max][t∈[0，2]]at2-t+b. ①当a=0时，g（a，b）=[max][t∈[0，2]]t-b=max{b，b-2}，所以[min][a，b∈R] g（a，b）=1. ②当a<0，或0

[a<0，或0.③当a≥时，g（a，b）=[max][t∈[0，2]]{b，b-

，b-2（1-2a）}.若a≥时，如图1，2（1-2a）≤0<，所以[a≥，b∈R][min] g（a，b）=

[a≥][min] [b∈R][min]g（a，b）=[a≥][min]

-

=[a≥][min]（2a+-1）.因为2a+-1关于a在[，+∞）单调递增，所以[a≥][min]（2a+-1）≥. 若≤a<时，如图2，0<2（1-2a）≤，[≤a<，b∈R][min]g（a，b）=[≤a<][min][min][b∈R]g（a，b）=[≤a<][min]

=[≤a<][min]>，综合得实数m的取值范围是（-∞，].

解法2  从几何意义的视角入手.

令y1=，y2=ax+b，f（x）=y1-y2表示幂函数y1=图象上点（x，y1）与动直线y2=ax+b上点（x，y2）的距离，记d=y1-y2.

①当a=时，如图3，设点A（4，2），过O，A的直线为l1，与函数y1=图象相切的直线为l3，与l1，l3等距的直线为l2，则l1，l3，l2的方程分别为y=x，y=x+，y=x+，由幂函数的性质知，动直线l：y=x+b平移时，f（x）=y1-y2的最大值在端点O，A，及与l2幂函数图象相切时的切点处取到，于是[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b是l2在y轴上的截距.

②当a>时，如图4，同上假设（下同），与函数y1=图象相切的直线l3为y=ax+，过点A与l3平行的直线l1为y=ax+2-4a，与l1，l3等距的直线l2为y=ax+（-4a+2）.由幂函数性质知，动直线l：y=ax+b平移时， f（x）=y1-y2的最大值在端点A，或l2与幂函数图象相切的切点处取到，于是动直线l与l2重合时， f（x）=y1-y2的最大值关于a，b取到最小值.即[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b=[a≥][min]（4a+-2），因为4a+在（，+∞）单调递增，所以（-2+4a）>，所以[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b>.

③当≤a<时，如图5，仿②处理，直线l：y=ax+与y1=图象相切的切点横坐标小于4，过O与l3平行的直线l1为y=ax，与l1，l3等距的直线l2为y=ax+.由幂函数性质知，动直线l：y=ax+b平移时，f（x）=y1-y2的最大值在端点O，或l2与幂函数图象的切点处取到，于是动直线l与l2重合时， f（x）=y1-y2的最大值关于a，b取到最小值，于是[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b=[≤a<][min]，因为>，所以[max][x∈[0，4]]

-ax-b>.

④当 0