谈学生数感和符号意识的培养

杨红芬

有些人能很敏锐地从问题情境中发现，并抽象出数学问题，然后利用符号组建数学模型，把要解决的问题清晰简明地表现出来，用来与人们交流和作进一步的深入研究，这就是具有良好数感和符号意识的表现. “建立数感、符号意识”是《课标（2011年版）》在“数学思考、符号意识”中的一项重要目标，落实这项目标将对学生今后的学习、生活和工作带来深远的影响.

要培养学生敏锐的数感和符号意识，我们可以从以下几方面进行努力.

一、帮助学生学会发现、学会抽象

人们在现实生活中遇到的往往是纷繁的情境，甚至是困惑，很少有像课本中那样已经抽象、概括好了的数学问题. 帮助学生学会发现、学会抽象，是问题解决的必需准备. 要帮助学生学会发现、学会抽象，首先我们要提供更多的密切联系学生生活实际的，紧扣数学教学目标的，而且富有趣味的问题情境. 然后引导学生主动提出有意义的数学问题，并寻找问题解决的方法.

案例1  教师提供的问题情境：超市里某种袜子包装分大包、小包和散装三种. 小包每包10双，每个大包含10个小包.定价：散装每双10元;小包每包80元;大包每包700元.

下面是教师引导学生发现问题，抽象并提出问题的过程实录：

教师：如果你想买这种袜子，你会提出什么问题和发现与大家分享？

学生A：我发现若买9双散装的袜子，不如买1小包划算. 后者比前者少付10元钱，袜子反而多了1双.

学生B：我发现若买90双袜子，买9个小包不如买1个大包划算. 后者比前者少付20元钱，袜子却多了10双.

学生C：如果有人想买1087双，怎样买才划算？如果想买878双呢？能找出一般规律吗？

学生D：选择怎样的购买方法比较划算，是否视购买的数量而定？要找到一般规律需要对购买的数量进行分类讨论，那么怎样进行分类讨论呢？

下面是在教师的引导下，师生共同完成了如下的分类讨论：

（1） 设购买数量为个位数n，当0

（2） 设购买数量为两位数，则购买m个小包和n双散装袜子所需的钱为80m+10n，当80m+10n=700时，解得m=8，n=6，也就是说当≥86时，应购1个大包;当<86，且n≥8时，应购（m+1）小包;当<86，且n<8时，应购m小包另加n双.

有了以上的一般化结果，对任何购买数量，我们都不难找出最划算的购买方案，例如，若要买1087双，最划算的购买方案为买11个大包;若要买878双，最划算的购买方案为买8大包加8小包.

案例2    教师提供的问题情境是：近几年来人民币对美元快速升值，对我国的出口贸易带来很大的影响，是人们以及各种媒体广泛议论的事，对此同学们有哪些感兴趣的问题？围绕这一问题情境，学生提出来的问题主要有：

（1） 人民币升值是通过什么数量来反映的？

（2） 人民币升值是通过汇率的变化来反映的，那么汇率的含义是什么？

（3） 如果美元对人民币的汇率为1∶a，那么人民币对美元的汇率应怎样表达？它的具体含义是什么？（4） 若美元对人民币的汇率为1∶6.16，人民币升值1%，则升值后美元对人民币的汇率是多少？美元贬值1%与人民币升值1%含义一样吗？

（5） 某外贸公司有一单出口货物，与外商签约时，美元对人民币的汇率为1∶6.16，货物定价为12万美元. 签约一个月后结汇时（外贸公司把货款兑换成人民币）人民币升值3‰，那么该外贸公司将损失人民币多少元？（提出此问的学生家长是开外贸公司的）

在启发引导学生发现和提出问题的过程中，我们要着重引导学生发掘问题情境中蕴含的数和数量关系，在把实际问题抽象成数学问题时要着重启发学生用数、字母以及数学符号使问题数学化，一般化.这一步往往是学生在探索中比较困难的一步，案例2中的第3问也是在教师启发帮助下才提得出来的.这一问题的提出和解决，为后面的一系列问题的解决提供基本依据. 在把美元对人民币的汇率表示为1∶a后，即表示1美元可兑换a元人民币（指中间价），那么人民币对美元的汇率为1∶，表示1元人民币可兑换美元，人民币升值1%后，人民币对美元的汇率变为：1∶（1+1%）=，那么美元对人民币的汇率变为1∶. 由此显而易见，人民币升值1%与美元贬值1%的汇率变化是不相同的，后者对人民币的汇率则变为1∶. 对于第5问，人民币升值3‰后美元对人民币的汇率从1∶6.16变为1∶，即约为1∶6.14，由此可得该外贸公司结汇时损失的人民币约为12×（6.16-6.14）=0.24（万元）.

对问题情境的抽象不局限于“数与代数”，还包括“图形与几何”，也就是需要用几何图形来直观、清晰地表达问题情境，通过对几何图形的性质和各部分位置关系的分析，揭示蕴含其中的数量关系，建立合适的数学模式，达到问题解决的目的.

案例3  问题情境：要从矩形的板材中裁取一块圆形的板，怎样裁材料的利用率会尽可能地大？这样的问题可以抽象成如何在矩形内作出或结合剪拼等构造出一个半径尽可能大的圆. 环绕着这样的问题情境，我们可以启发、引导学生提出并探索以下这些问题：

（1） 如果这个矩形是正方形，怎样作这个最大的圆？如果不是正方形呢？两者在思想方法上有什么共同之处？

（2） 设矩形的一组邻边长分别为a，b，且a>b，能否先作出圆的两个部分，或者将矩形适当分割后作出圆的两个部分，而这两部分合起来成为一个半径尽可能大的圆？还有其他方法吗？

（3） 怎样比较各种作法所得的圆的大小？怎样分析图形中的位置关系和图形的性质，求出各种方案中所得圆的半径？endprint

上述这些问题由浅入深，由简单到复杂为学生数感的培养搭起合适的阶梯. 第（1）问虽简单，但给出一系列探索的基本思路——尽可能使圆与更多边相切. 第（2）问为学生的思考带来飞跃，激发学生想出一些有趣的问题解决方案. 例如以下这些方案都是学生曾经提出过的.

方案1：如图1，圆心O1，O2分别在AB，CD上，等圆☉O1与☉O2相切.

方案2：如图2，沿对角线把矩形先分割成两个直角三角形，然后错位，作出圆心为O分别位于不同的两个直角三角形中的两个半圆.

方案3：如图3，考虑到矩形的对称性，不妨设0

方案4：如图4，同样可设0

当然方案还有许多，比如有同学先把矩形割补成边长为的正方形，然后作这个正方形的内切圆. 不妨设a=5，b=，作法如图5. 在探索过程中我们的宗旨是让学生学会发现，学会抽象，学会表达，学会探索，并不一定需要找出所有的可能. 当然这样似乎有点意犹未尽，要知道这种“意犹未尽”却给学生后续自主设问，自主探索，留下了悬念和空间. 把情境抽象成几何图形就为数量关系的研究提供了方便. 从图1、图2、图3、图4得到尽可能大的圆的半径分别是，，，.有了图3，图4，我们还可以对方案3、方案4作进一步的研究. 方案3、方案4并不都是可行的. 对于方案3（如图3），作图存在的条件是弦AB≤b，即2≤b，4bx≤b2，0

如果我们能引导学生提出上述这些作图的存在性问题，并予以解决，那么应该说我们对学生数感的培养已经取得很大的成功. 值得注意的是，为了让学生能够积极主动地提出问题，教师需要改变“光老师问，学生答”的启发式教学模式，要多鼓励学生自主提出问题.

二、帮助学生正确理解符号、使用符号，并学会创造

数学符号是刻划、表现问题情境中的数学内涵的有力工具. “+”、“-”这两个符号看似简单，其实不然. 有不少学生就是因为对这两个符号理解不透彻、不全面，造成有理数运算的许多差错. 教学中教师要帮助学生认识这两个符号的双重性，作为性质符号它们表示一个数的正、负，作为运算符号它们又表示数与数的“加”“减”. 算式11+（-4）-（-9）-（+6）表示“正11加负4减负9减正6”，在学生对“+”“-”意义的正确理解基础上，学生才能把算式简化成省略加号的和式子“11-4+9-6”，才能正确使用运算律简化运算：11-4+9-6=（11+9）+（-4-6）=0.

在讲三角形相似符号“∽”时，教师不仅要讲清它的意义是表示两个三角形之间的一种关系，还要掌握它与符号“△”以及三角形顶点字母一起表示两个三角形相似时课本中的一些具体的约定，而且不同版本的课本对符号的约定也许不甚相同. 在浙教版课本中这种约定要把对应顶点写在对应的位置上. 例如对于“已知D，E分别是AB，AC上的点，△ADE与△ABC相似”的语句在用符号“∽”表示时，就应分两种情况：（1）如图7，△ADE∽△ABC;（2）如图8，△AED∽△ABC.

为了更有效地培养学生的数感和符号意识，我们不仅要帮助学生透彻地理解，正确地使用课本中已有的符号，还需要帮助学生逐步学会根据研究的需要创造符号，在符号创新中感受符号的魅力.

案例4   提供的问题情境是：把一个正奇数乘以3，再加1，约去所有的偶因数，然后重复前面的结果，这样一直反复继续下去，经有限次反复之后，这个正奇数将变为1.这在国外叫角谷猜想，是一个至今未能证明的世界难题，我们能否通过创设符号，使表述简化，给问题的深入研究带来方便？

在教学中我们这样启发学生，“现在需要表达的是一个过程，你会创设怎样的符号？”有的学生创设了如下的符号：他说每一次把一个正奇数乘以3，再加1，约去所有偶因数的过程定义为一个C变换，并用符号“[→][C]”表示，例如，对于正奇数3的一个C变换就可以简单地表示成“3[→][C]5”（3×3+1，约去2）. 这样对于17经过多次C变换变成1的过程就可以简便地表示成“17[→][C]13[→][C]5[→][C]1”.

符号创新离不开新概念的定义，我们可以在教学中让学生多经历一些自定义的阅读理解题.

案例5   我们把代数式定义为x与y之间的一种运算，用符号“※”表示，即x※y=，并规定a※b※c=（a※b）※c.

（1）计算：（-1）※0= .

（2）判断下列命题的真假：

①对于任何实数x，都有x※3﹦6;

②运算x※y使用交换律：x※y=y※x.

（3）计算：2015※2014※2013※…※4※3※2.

解答：（1）-96. （2）①真;②假（举反例可得）. （3）原式=6※2=.

自定义的符号创新还广泛地应用于图形表示.

案例6    我们把长边和短边的比是2∶1的长方形称为基本长方形. 用短边互不相同的基本长方形拼出一个更大的矩形，要求：任意两个基本长方形之间既没有重叠部分，也没有空隙. 记用来拼更大矩形的各个基本长方形的较短边长为a1，a2，a3，…，an，且a1

（1） 若a2，a3都为正整数，求（1，a2，a3），并画出拼成的矩形，把每个基本长方形的较短边长填入所在基本长方形中.

（2） 任意写出四个（1，a1，a2，a3，a4），并画出拼成的矩形，把每个基本长方形的较短边长填入所在的基本长方形中.

（3） 已知（1，a3，a4，a5）如图9，求a2，a3，a4，a5的值，然后填入所在的基本长方形中.

简解：（1） （1，a2，a3）如图10，

（2）如图11，（1，2，5，6），（1，2，2.25，2.5），（1，2，2.5，4.5），（1，2，2.5，5）.

（3）如图12，设AB=x，由题意可得，2x+（2+2x）=+4+2x.

解得x=. ∴（1，a2，a3，a4，a5）=

1

，，

，

，

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