浅谈常微分方程中的换元思想

彭廷　王增战　焦雪松

【摘 要】常微分方程就是含有未知函数导数或者微分并且未知函数是一元函数的方程。常微分方程是高等数学中一类很重要的方程。换元思想是解决数学问题中的一种重要思想。在有些数学问题中，变量关系在形式上可能比较隐蔽，逻辑联系从表面上很难看出，或者是形式特别复杂进行直接求解会有很多困难，这时候我们可以利用换元思想对它的变量进行适当的代换，化繁为简，把困难的问题简单化，可以很好地解决一些有难度的题目，同时也可以提高我们的思维。

【关键词】常微分方程；换元思想；高等数学

一、引言

常微分方程是微分方程中的一个很重要的分支，它和经典的动力学是同源的。运用新的简单地未知量或者变量来替换原来的复杂的变量或者未知量，求出新的变量或者未知量，再利用替换的关系式把原来的变量或者未知量求出来，这就是换元法。换元法通常就是把复杂的关系式用简单的“新元”代替，把复杂的问题简单化，可以比较容易地找到解题的思路。在数学教学过程当中，交给学生最主要的就是一些数学解题思想，使学生的思维可以得到锻炼。

二、常微分方程

微分方程的技术和理论最早是出现在牛顿对天体力学中行星的运动和轨道的研究，牛顿发表的《自然哲学的数学原理》这本书中提到的不仅仅是万有引力的动力学研究，还首次创立了积分法和微分法以及一种全新的数学技术微分方程，它打破了传统的只是把孤立的量当成运算对象的数学思想。常微风方程是物理学家对动态世界特别是天体世界进行描述的一种最最要的工具，是在人类对于天体的探索和对自然的探索和改造的过程中发展起来的。它不但是数学分析中的一种延续，更是数学微分几何以及偏微分方程学习的基础。掌握常微分的解题方法和思维是具有重要意义的。常微分方程主要包括一阶隐式微分方程和高阶方程等。

三、利用换元思想解决常微分方程问题

例如，在求解方程x2=yˊ的通解的时候，可以令yˊ=tant，x=sint，于是原来的方程参数形式就变为：

所以dy=tantcostdt=sintdt.

通过对上面式子进行积分可得y=-cost+c

所有原来的方程参数通解就变成了

又例如对于方程y=y′2-xy′+1/2x2的通解时，可以令x=x， y′=P，原方程就变成了：

所以（x-p）dx+（2p-x）dp= pdx.对于这个方程同学们就可以很好地解决了。

通过对上面的例子我们可以看出，如果不利用换元思想的话，对于原方程的求解根本不知道怎么下手，如果利用换元思想把原方程的变量变成我们所熟悉的tant和sint，就可以对原方程转化为我们所熟悉的形式，对于熟悉的东西我们就可以很好地进行解决了。这样不但帮助学生很好地解决了问题，还可以增强学生学习数学的信心。数学是一门比较难学的课程，如果在学习中遇到困难就和容易打击学生的自信心，从而更学不好数学这门课程。所以在学习数学时利用换元思想或者利用一些别的数学思想可以使問题简单化，不但问题得到了解决，同学们对于数学的学习兴趣可以得到提高，只有在有趣味的学习中才能真正体会到学习的乐趣，不是为了学习而学习更能学好知识。

四、在常微分方程中应用换元思想应该注意的问题

利用换元思想解决数学问题的原则就是把复杂难解的问题变得简单容易解决，把不熟悉的东西以某种形式变成我们所熟悉的东西，从而更好地解决问题，但是我们需要特别注意的是我们引入新的变量的范围的确定，如果变量的范围没有得到正确的确定，那么就算解题过程都是正确的，真正意义上这道题的解法也是错误的。新的变量它受到的限制条件是要根据题目中的条件去验证的，很多同学在解题过程中都会忽视这一个步骤。

五、结语

在解决数学问题的过程当中，换元法发挥着重要的作用，换元思想更应该是在数学教学中对学生培养的重点思想，学生学会应用换元思想可以提高学生学习的兴趣，增强学生对于数学学习的兴趣。对于一些较难的题目，可以对问题的结构特点进行仔细观察，对于问题进行深入分析，从而把问题隐含的条件找出来，利用换元的方法，综合各方面的综合知识把问题很好地解决。换元思想是解决数学问题的一种有效、重要的思想。

参考文献：

[1]何彩香，张媛祥.换元思想在解高数题中的应用[J].大理学院学报.2013，45（03）：87-88

[2]阿拉坦仓，黄俊杰.民族地区综合性大学常微分方程教学探析[J].中国大学教学，2012，12（23）：52-53

[3]王高雄，周之铭等.常微分方程[M].北京：高教出版社，2006（第3版）

作者简介：

彭廷（1989～），女，陕西省西安市人，工作单位：西安文理学院，职务：学生，研究方向：数学。